A racionális egyenlet egy tört, amely egy vagy több változót tartalmaz a számlálóban vagy a nevezőben. Racionális egyenlet minden olyan tört, amely legalább egy racionális egyenletet tartalmaz. A szokásos algebrai egyenletekhez hasonlóan a racionális egyenleteket úgy oldják meg, hogy ugyanazt a műveletet hajtják végre az egyenlet mindkét oldalán, amíg a változókat át nem lehet helyezni az egyenlet mindkét oldalára. Két speciális technika, a keresztszorzás és a legkisebb közös nevező megtalálása nagyon hasznos módja a változók mozgatásának és a racionális egyenletek megoldásának.
Lépés
1 /2 -es módszer: Keresztszorzás
1. lépés Ha szükséges, rendezze át az egyenletet, hogy az egyenlet egyik oldalán tört legyen
A keresztszorzás gyors és egyszerű módja a racionális egyenletek megoldásának. Sajnos ez a módszer csak olyan racionális egyenletekhez használható, amelyek legalább egy racionális egyenletet vagy törtet tartalmaznak az egyenlet mindkét oldalán. Ha az egyenlete nem felel meg ezeknek a termékek közötti követelményeknek, előfordulhat, hogy algebrai műveleteket kell használnia az alkatrészek megfelelő helyre történő mozgatásához.
-
Például az (x + 3)/4-x/(-2) = 0 egyenlet könnyen kereszttermék alakba helyezhető, ha az egyenlet mindkét oldalához x/(-2) -et adunk hozzá, így (x + 3)/4 = x/(-2).
Vegye figyelembe, hogy a tizedes és egész számok törtekké alakíthatók az 1. nevező megadásával. (X + 3)/4 - 2, 5 = 5, például átírható (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, így megfelel a keresztszorzási feltételnek
- Egyes racionális egyenleteket nem lehet könnyen redukálni olyan formára, amelynek mindkét oldalán egy tört vagy racionális egyenlet van. Ilyen esetekben ugyanazt a legkisebb nevezőt alkalmazza.
2. lépés. Kereszt szorzás
A keresztszorzás azt jelenti, hogy a tört egyik számlálóját megszorozzuk egy másik tört nevezőjével, és fordítva. Szorozzuk meg a bal oldali tört számlálóját a jobb oldali tört nevezőjével. Ismételje meg a jobb nevezővel a bal nevezővel.
A keresztszorzás az algebrai alapelvek szerint működik. A racionális egyenletek és más törtek nem törtekké alakíthatók, ha megszorozzuk őket a nevezővel. A kereszttermék alapvetően gyors módja annak, hogy az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk mindkét nevezővel. Nem hiszek? Próbálja ki - ugyanazt az eredményt kapja az egyszerűsítés után
3. lépés A két terméket egyenlővé kell tenni
A keresztszorzás után két szorzási eredményt kap. Tegye őket egyenlővé egymással, és egyszerűsítse, hogy az egyenlet a lehető legegyszerűbb legyen.
Például, ha az eredeti racionális egyenlete (x+3)/4 = x/(-2) volt, akkor a keresztszorzás után az új egyenlete -2 (x+3) = 4x lesz. Ha akarod, írhatod -2x - 6 = 4x formátumban is
4. lépés. Keresse meg a változó értékét
Algebrai műveletek segítségével keresse meg az egyenlet változójának értékét. Ne feledje, hogy ha x megjelenik az egyenlet mindkét oldalán, akkor hozzá kell adnia vagy el kell vonnia az egyenlet mindkét oldalát, hogy x az egyenlet egyik oldalán maradjon.
Példánkban oszthatjuk az egyenlet mindkét oldalát -2 -vel, tehát x+3 = -2x. Ha mindkét oldalról kivonjuk az x -et, akkor 3 = -3x lesz. Végül, ha mindkét oldalt elosztjuk -3 -mal, az eredmény -1 = x lesz, ami x = -1 -ként írható fel. Megtaláltuk x értékét, megoldva racionális egyenletünket
2. módszer 2 -ből: A legkevesebb közös nevező megtalálása
1. lépés. Ismerje meg a pontos időt ugyanazon legkisebb nevező használatához
Ugyanaz a legkisebb nevező használható a racionális egyenletek egyszerűsítésére, kereshetővé téve a változó értékeket. A legkevésbé közös nevező megtalálása jó ötlet, ha a racionális egyenletét nem lehet könnyen leírni egy tört (és csak egy tört) segítségével az egyenlet mindkét oldalán. A három vagy több részből álló racionális egyenletek megoldásához a legkevésbé közös nevező hasznos. A két részből álló racionális egyenlet megoldásához azonban gyorsabb a kereszttermék használata.
2. lépés. Ellenőrizze az egyes törtek nevezőjét
Határozza meg a legkisebb számot, amelyet minden nevező oszthat, és egész számot állíthat elő. Ez a szám a legkevésbé közös nevező az egyenletében.
- Néha a legkisebb közös nevező - vagyis a legkisebb szám, amelyben az összes tényező szerepel a nevezőben - jól látható. Például, ha egyenlete x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, akkor nem nehéz látni a legkisebb számot, amelynek 3, 2 és 6 tényezője van, ami a 6.
- Azonban gyakran nem látszik tisztán a racionális egyenlet legkevésbé közös nevezője. Ilyen esetben próbálja meg ellenőrizni a nagyobb nevező többszörösét, amíg meg nem talál egy számot, amely az összes többi kisebb nevező tényezőjével rendelkezik. Gyakran a legkevésbé közös nevező két nevező szorzata. Például az x/8 + 2/6 = (x-3)/9 egyenletben a legkisebb közös nevező 8*9 = 72.
- Ha a történek egy vagy több nevezője rendelkezik változókkal, ez a folyamat nehezebb, de lehetséges. Ilyen esetben a legkevésbé közös nevező egy egyenlet (változóval), amely osztható az összes többi nevezővel. Például az 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) egyenletben a legkevésbé közös nevező 3x (x-1), mert bármelyik nevező oszthatja-az (x-1) -el osztva 3x, 3x-mal osztva (x-1), x-el osztva 3 (x-1).
3. lépés: Szorozzuk meg a racionális egyenlet minden egyes töredékét 1 -gyel
Az egyes részeket 1 -gyel megszorozni haszontalannak tűnik. De itt van a trükk. Az 1 -et bármilyen számként definiálhatjuk, amely mind a számlálóban, mind a nevezőben azonos, például -2/2 és 3/3, ami az 1 helyes írásának módja. Ez a módszer kihasználja az alternatív definíció előnyeit. Szorozzuk meg a racionális egyenlet minden egyes töredékét 1 -gyel, és írjuk le azt az 1 -es számot, amelyet a nevezővel megszorozva a legkisebb közös nevezőt kapjuk.
- Alapvető példánkban az x/3 -at megszorozzuk 2/2 -vel, hogy 2x/6 -ot kapjunk, és 1/2 -t 3/3 -mal szorozzuk, hogy 3/6 -ot kapjunk. A 2x + 1/6 már ugyanazzal a legkisebb nevezővel rendelkezik, ami 6, tehát 1/1 -gyel megszorozhatjuk, vagy békén hagyhatjuk.
- Példánkban a tört nevezőjének változójával a folyamat egy kicsit bonyolultabb. Mivel a legkisebb nevezőnk 3x (x-1), minden racionális egyenletet megszorozunk valamivel, ami 3x (x-1) értéket ad vissza. Megszorozzuk az 5/(x-1) -t (3x)/(3x) -al, ami 5 (3x)/(3x) (x-1) -t ad, az 1/x-t megszorozzuk 3-val (x-1)/3 (x- 1) ami 3 (x-1)/3x (x-1), és ha a 2/(3x) -t megszorozzuk (x-1)/(x-1), akkor 2 (x-1)/3x (x- 1).
4. lépés: Egyszerűsítse és keresse meg x értékét
Most, mivel a racionális egyenlet minden részének ugyanaz a nevezője, eltávolíthatja a nevezőt az egyenletből, és megoldhatja a számlálót. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát, hogy megkapjuk a számláló értékét. Ezután algebrai műveletek segítségével keresse meg x (vagy bármilyen megoldandó változó) értékét az egyenlet egyik oldalán.
- Alapvető példánkban, miután az összes részt megszoroztuk az 1 alternatív formával, 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6 kapunk. Két tört hozzáadható, ha azonos nevezővel rendelkeznek, így ezt az egyenletet egyszerűsíthetjük (2x+3)/6 = (3x+1)/6 érték megváltoztatása nélkül. Szorozzuk mindkét oldalt 6 -tal a nevező eltávolításához, így az eredmény 2x+3 = 3x+1. Ha mindkét oldalról kivonunk 1 -et, akkor 2x+2 = 3x, és mindkét oldalról 2x -t kivonva 2 = x -et kapunk, ami x = 2 -ként írható fel.
- Példánkban, amelyben a nevező változója, az 1-gyel való szorzás után egyenletünk 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1)) /3x (x-1). Ha minden részt megszorozunk ugyanazzal a legkisebb nevezővel, és így kihagyhatjuk a nevezőt, akkor 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1) lesz. Ez vonatkozik az 5x = 3x -3 + 2x -2 -re is, ami 15x = x -5 -re egyszerűsödik. Ha x -t kivonjuk mindkét oldalról, akkor 14x = -5 lesz, ami végül x = -5/14 -re egyszerűsödik.
Tippek
- Ha megoldotta a változót, ellenőrizze a választ úgy, hogy beilleszti a változó értékét az eredeti egyenletbe. Ha a változó értéke helyes, egyszerűsítheti eredeti egyenletét egy egyszerű utasításra, amely mindig 1 = 1.
- Vegye figyelembe, hogy bármilyen polinomot írhat racionális egyenletként; tegye a nevező 1 fölé. Tehát az x+3 és (x+3)/1 értéke azonos, de a második egyenlet racionális egyenletnek minősíthető, mert törtként van írva.
