A matematikai egyenletek egyszerűsítése: 13 lépés

2024 Szerző: Jason Gerald | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-15 08:16

A matematika szakos hallgatókat gyakran megkérik, hogy írják le a válaszaikat a legegyszerűbb formában - más szóval, hogy a válaszokat a lehető legelegánsabban írják le. Bár a hosszú, merev és rövid, valamint az elegáns egyenletek technikailag ugyanazok, gyakran a matematikai feladat nem tekinthető teljesnek, ha a végső választ nem a legegyszerűbb formára redukálják. Ezenkívül a válasz a legegyszerűbb formában szinte mindig a legkönnyebben használható egyenlet. Emiatt az egyenletek egyszerűsítésének megtanulása fontos készség a matematikusok számára.

Lépés

1. módszer a 2 -ből: Műveletsorozat használata

1. lépés Ismerje a műveletek sorrendjét

A matematikai kifejezések egyszerűsítésekor nem lehet csak balról jobbra dolgozni, szorozni, összeadni, kivonni stb. Sorrendben balról jobbra. Bizonyos matematikai műveleteknek elsőbbséget kell élvezniük másokkal szemben, és azokat először el kell végezni. Valójában a rossz műveleti sorrend használata rossz választ adhat. A műveletek sorrendje: a zárójelben lévő rész, a kitevő, a szorzás, az osztás, az összeadás és végül a kivonás. Egy rövidítés, amellyel emlékezhet, mert az anya nem jó, gonosz és szegény.

Ne feledje, hogy bár a műveletek sorrendjének alapvető ismerete egyszerűsítheti a legalapvetőbb egyenleteket, speciális technikákra van szükség sok változóegyenlet egyszerűsítéséhez, beleértve szinte az összes polinomot. További információért lásd a következő második módszert

2. lépés: Kezdje a zárójelben lévő összes szakasz kitöltésével

A matematikában a zárójelek azt jelzik, hogy a belső részt külön kell számítani a zárójelben lévő kifejezésektől. Függetlenül attól, hogy milyen műveletek vannak a zárójelben, győződjön meg róla, hogy először befejezi a zárójelben lévő részt, amikor egyszerűsíteni próbál egy egyenletet. Például zárójelben össze kell szorozni, kivonni stb.

• Például próbáljuk meg egyszerűsíteni a 2x + 4 (5 + 2) + 3 egyenletet² - (3 + 4/2). Ebben az egyenletben először meg kell oldanunk a zárójelben lévő részt, nevezetesen az 5 + 2 és a 3 + 4/2. 5 + 2 =

  7. lépés.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  5. lépés

  A második zárójelben lévő rész 5 -re egyszerűsödik, mert a műveletek sorrendje szerint először a 4/2 -et osztjuk el a zárójelben. Ha csak balról jobbra dolgozunk, először 3 -at és 4 -et adunk hozzá, majd osszuk el 2 -vel, rossz választ adva 7/2

• Megjegyzés - ha több zárójel van zárójelben, töltse ki a legbelső zárójelben található részt, majd a második legbelső stb.

3. lépés. Oldja meg a kitevőt

A zárójelek kitöltése után oldja meg egyenlete kitevőjét. Ezt könnyű megjegyezni, mert a kitevőkben az alapszám és a hatalom teljesítménye egymás mellett vannak. Keresse meg a választ a kitevő minden egyes részére, majd csatlakoztassa a választ az egyenletbe a kitevő rész cseréje érdekében.

A zárójelben lévő rész kitöltése után példa egyenletünk 2x + 4 (7) + 3 lesz² - 5. Példánk egyetlen exponenciális értéke a 3², ami egyenlő 9. Adja hozzá ezt az eredményt az egyenletéhez a 3 helyett² így 2x + 4 (7) + 9 - 5.

4. lépés. Oldja meg a szorzási feladatot az egyenletében

Ezután végezze el a szorzást az egyenletben. Ne feledje, hogy a szorzást többféleképpen is írhatjuk. A × pont vagy a csillag szimbólum a szorzás megjelenítésének egyik módja. A zárójelben vagy változó mellett lévő szám (például 4 (x)) azonban szorzást is jelent.

• A szorzásnak két része van a feladatunkban: 2x (2x 2 × x) és 4 (7). Az x értékét nem tudjuk, ezért hagyjuk 2x -nél. 4 (7) = 4 × 7 =

  28. lépés.. Átírhatjuk egyenletünket 2x + 28 + 9 - 5 -re.

5. lépés. Folytassa a felosztást

Ha osztási problémákat keres egyenleteiben, ne feledje, hogy a szorzáshoz hasonlóan az osztást többféleképpen is meg lehet írni. Ezek egyike a szimbólum, de ne feledje, hogy a perjelek és kötőjelek, például törtek (pl. 3/4), szintén osztást jeleznek.

Mert már elvégeztük a felosztást (4/2), amikor zárójelben fejeztük be az alkatrészeket. Példánkban még nincs osztási probléma, ezért kihagyjuk ezt a lépést. Ez egy fontos pontot mutat - a kifejezés egyszerűsítésekor nem kell minden műveletet elvégeznie, csak a problémájában szereplő műveleteket

6. lépés. Ezután adjon hozzá mindent az egyenlethez

Dolgozhat balról jobbra, de könnyebb először összeadni a könnyen hozzáadható számokat. Például a 49 + 29 + 51 + 71 feladatban könnyebb 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 és 100 + 100 = 200 összeadása, mint 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 és 129 + 71 = 200.

Példaegyenletünket részben leegyszerűsítettük 2x + 28 + 9 - 5 -re. Most össze kell adnunk az összeadható számokat - nézzük meg az egyes összeadási problémákat balról jobbra. Nem adhatunk hozzá 2x -t és 28 -at, mert nem ismerjük x értékét, ezért csak kihagyjuk. 28 + 9 = 37, 2x + 37 - 5 -re átírható.

7. lépés: A műveletsor utolsó lépése a kivonás

Folytassa a problémát a fennmaradó kivonási feladatok megoldásával. Lehet, hogy a kivonást úgy gondolhatja, hogy ebben a lépésben negatív számokat ad hozzá, vagy ugyanazokat a lépéseket hajtja végre, mint egy rendszeres összeadási probléma esetén - a választása nem befolyásolja a választ.

• Problémánkban, 2x + 37 - 5, csak egy kivonási probléma van. 37-5 =

  32. lépés.

8. lépés. Ellenőrizze egyenletét

Miután megoldotta a műveletek sorrendjét, az egyenletet le kell egyszerűsíteni a legegyszerűbb formára. Ha azonban az egyenlete egy vagy több változót tartalmaz, akkor értse meg, hogy a változóin nem kell dolgozni. A változó egyszerűsítéséhez meg kell találnia a változó értékét, vagy speciális technikákat kell használnia a kifejezés egyszerűsítésére (lásd az alábbi lépést).

A végső válaszunk 2x + 32. Ezt az utolsó összeadást nem tudjuk megoldani, ha nem ismerjük x értékét, de ha tudnánk az értékét, ezt az egyenletet sokkal könnyebb lenne megoldani, mint a hosszú eredeti egyenletünket

2. módszer 2 -ből: Összetett egyenletek egyszerűsítése

1. lépés. Adja össze az azonos változóval rendelkező részeket

A változóegyenletek megoldása során ne feledje, hogy az azonos változóval és kitevővel (vagy ugyanazzal a változóval) rendelkező részek összeadhatók és kivonhatók, mint a normál számok. Ennek a résznek azonos változóval és kitevővel kell rendelkeznie. Például 7x és 5x adható hozzá, de 7x és 5x² nem lehet összeadni.

• Ez a szabály bizonyos változókra is vonatkozik. Például 2xy² összegezhető -3xy -val², de nem összegezhető -3x -mal²y vagy -3y².
• Lásd az x egyenletet² + 3x + 6-8x. Ebben az egyenletben 3x -ot és -8x -ot adhatunk hozzá, mert azonos a változójuk és a kitevőjük. Az egyszerű egyenletből x lesz² - 5x + 6.

2. lépés: Egyszerűsítse a törtszámokat a tényezők elosztásával vagy áthúzásával

Azok a törtek, amelyeknek csak számai vannak (és nincsenek változók) a számlálóban és a nevezőben, többféleképpen egyszerűsíthetők. Az első és talán a legegyszerűbb, ha a törtet osztási feladatnak tekintjük, és a nevezőt elosztjuk a számlálóval. Ezenkívül a számlálóban és a nevezőben megjelenő szorzótényező áthúzható, mivel a két tényező elosztása az 1 -es számot eredményezi.

Például nézze meg a 36/60 törtet. Ha van számológépünk, akkor feloszthatjuk, hogy megkapjuk a választ 0, 6. Ha azonban nincs számológépünk, akkor is leegyszerűsíthetjük ugyanazon tényezők áthúzásával. A 36/60 elképzelésének másik módja a (6 × 6)/(6 × 10). Ez a tört 6/6 × 6/10 formában írható fel. 6/6 = 1, tehát a frakciónk valójában 1 × 6/10 = 6/10. Azonban még nem végeztünk - mind a 6, mind a 10 azonos tényezővel rendelkezik, ami 2. A fenti módszert megismételve az eredmény 3/5.

3. lépés. A változó frakcióján húzza át a változó összes tényezőjét

A tört alakú változóegyenleteknek egyszerű módja van az egyszerűsítésnek. A közönséges törtekhez hasonlóan a változó törtek lehetővé teszik a számláló és a nevező közös tényezőinek kiküszöbölését. A változó frakciókban azonban ezek a tényezők lehetnek a tényleges változó számai és egyenletei.

• Mondjuk az egyenletet (3x² + 3x)/(-3x² Ez a tört írható (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x jelenik meg a számlálóban és a nevezőben is. Ha ezeket a tényezőket kihúzzuk az egyenletből, az eredmény (x + 1)/(5 - x) lesz. Ugyanaz, mint a kifejezésben (2x² + 4x + 6)/2, mivel minden rész osztható 2 -vel, felírhatjuk az egyenletet (2 (x² + 2x + 3))/2, majd egyszerűsítsük x -re² + 2x + 3.
• Ne feledje, hogy nem húzhat át minden részt - csak a számlálóban és a nevezőben megjelenő szorzótényezőket. Például az (x (x + 2))/x kifejezésben x áthúzható a számlálóból és a nevezőből is, így (x + 2)/1 = (x + 2) lesz. Azonban az (x + 2)/x nem húzható át 2/1 = 2 -re.

4. lépés Szorozzuk meg a zárójelben lévő részt az állandóval

Amikor a zárójelben lévő változót tartalmazó részt konstanssal megszorozzuk, néha a zárójelben lévő minden részt konstanssal megszorozva egyszerűbb egyenletet kaphatunk. Ez azokra az állandókra vonatkozik, amelyek csak számokból állnak, és olyan állandókra, amelyek változókkal rendelkeznek.

• Például a 3. egyenlet (x² + 8) 3x -ra egyszerűsíthető² + 24, míg 3x (x² + 8) 3x -ra egyszerűsíthető³ + 24x.
• Vegye figyelembe, hogy bizonyos esetekben, például a változó törteknél, a zárójelek körüli konstansok áthúzhatók, így nem kell megszorozni a zárójelben lévő részekkel. Törtekben (3 (x² + 8))/3x, például a 3 -as tényező megjelenik a számlálóban és a nevezőben is, így áthúzhatjuk és egyszerűsíthetjük a kifejezést (x² + 8)/x. Ez a kifejezés egyszerűbb és könnyebben kezelhető, mint (3x³ + 24x)/3x, ezt az eredményt kapjuk, ha megszorozzuk.

Lépés 5. Egyszerűsítse faktorálással

A faktorálás egy olyan technika, amely egyes változó kifejezések egyszerűsítésére használható, beleértve a polinomokat is. Tekintsük a faktoringot a fenti lépésben a zárójelben lévő részekkel való szorzás ellentéteként - néha egy kifejezés úgy tekinthető, mint két rész, amelyeket egymással kell megszorozni, nem pedig egységes kifejezés. Ez különösen igaz, ha az egyenlet faktorálása lehetővé teszi az egyik rész áthúzását (mint a törtek). Bizonyos esetekben (gyakran másodfokú egyenletekkel) a faktorálás akár lehetővé teszi, hogy megtalálja az egyenlet megoldását.

• Tegyük fel ismét az x kifejezést² - 5x + 6. Ez a kifejezés az (x - 3) (x - 2) számításba vehető. Tehát, ha x² - 5x + 6 egy adott egyenlet számlálója, ahol a nevezőnek van ilyen tényezője, mint például az (x² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), érdemes faktor formában megírni, hogy áthúzzuk a faktort a nevezővel. Más szavakkal, az (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) pontban az (x - 2) rész áthúzható (x - 3)/2 -re.

• Amint fentebb rámutattunk, egy másik ok, amiért érdemes az egyenleteit faktorizálni, az az, hogy a faktorálás választ adhat bizonyos egyenletekre, különösen akkor, ha egyenlő 0 -val írjuk. Például az x egyenlet² - 5x + 6 = 0. A faktorálás (x - 3) (x - 2) = 0. Mivel bármely szám nullával megszorozva egyenlő nullával, tudjuk, hogy ha a zárójelek bármely része nulla, akkor a bal oldali egyenlet az egyenlőségjel szintén nulla. Tehát azt

  3. lépés. da

  2. lépés. a két válasz az egyenletre.