A bonyolult törtek egyszerűsítése: 9 lépés (képekkel)

2024 Szerző: Jason Gerald | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-15 08:16

A komplex tört olyan töredék, amelyben a számláló, a nevező vagy mindkettő törtet is tartalmaz. Ezért az összetett frakciókat néha "halmozott frakciónak" nevezik. Az összetett törtek egyszerűsítése egyszerű vagy nehéz lehet attól függően, hogy hány szám található a számlálóban és a nevezőben, hogy az egyik szám változó -e, vagy a változó szám összetettsége. A kezdéshez lásd az alábbi 1. lépést!

Lépés

1. módszer a 2 -ből: A komplex törtek egyszerűsítése fordított szorzással

1. lépés: Ha szükséges, egyszerűsítse a számlálót és a nevezőt egyetlen törtre

Az összetett törteket nem mindig nehéz megoldani. Valójában az összetett törtek, amelyek számlálója és nevezője egyetlen törtet tartalmaznak, általában meglehetősen könnyen megoldhatók. Tehát, ha egy összetett tört számlálója vagy nevezője (vagy mindkettője) több törtet vagy törtet és egész számot tartalmaz, egyszerűsítse azt, hogy egyetlen törtet kapjon a számlálóban és a nevezőben is. Keresse meg a két vagy több tört legkisebb közös többszörösét (LCM).

• Tegyük fel például, hogy szeretnénk leegyszerűsíteni egy komplex törtet (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Először is leegyszerűsítjük egy komplex tört számlálóját és nevezőjét egyetlen törtre.

  • A számláló egyszerűsítéséhez használja az LCM 15 -öt, amelyet a 3/5 és 3/3 szorzatával kapunk. A számláló 9/15 + 2/15 lesz, ami 11/15.
  • A nevező egyszerűsítése érdekében a 70 -es LCM eredményt használjuk, amelyet úgy kapunk, hogy megszorozzuk az 5/7 -et 10/10 -vel és a 3/10 -et 7/7 -gyel. A nevező 50/70 - 21/70 lesz, ami 29/70.
  • Így az új komplex frakció az (11/15)/(29/70).

2. lépés Fordítsa meg a nevezőt, hogy megtalálja a reciprokát

Értelemszerűen az egyik számot el kell osztani a másikkal, mint az első számot megszorozni a második szám reciprokával. Most, hogy van egy összetett törtünk, amelynek egyetlen törte van a számlálóban és a nevezőben is, ezt az osztást használjuk a komplex tört egyszerűsítésére. Először keresse meg a tört reciprokát a komplex tört alján. Ezt úgy tegye meg, hogy "megfordítja" a törtet - a számlálót a nevező helyére teszi, és fordítva.

• Példánkban a komplex tört (11/15)/(29/70) nevezőjében a tört 29/70. Az inverz megtalálásához "megfordítjuk", hogy megkapjuk 70/29.

  Megjegyezzük, hogy ha egy összetett tört egészében van a nevező, akkor azt törtként kezelhetjük és kölcsönösnek találhatjuk. Például, ha a komplex tört (11/15)/(29), akkor megtehetjük a nevezőt 29/1, ami azt jelenti, hogy a kölcsönös 1/29.

3. lépés Szorozzuk meg a komplex tört számlálóját a nevező reciprokával

Most, hogy megkaptuk a komplex tört nevezőjének reciprokát, szorozzuk meg a számlálóval, hogy egyetlen egyszerű törtet kapjunk. Ne feledje, hogy két tört megszorzásához csak keresztszorzást alkalmazunk - az új tört számlálója a két régi tört számlálójának száma, valamint a nevező.

Példánkban 11/15 × 70/29 szorzatot kapunk. 70 × 11 = 770 és 15 × 29 = 435. Tehát az új egyszerű tört az 770/435.

4. lépés: Egyszerűsítse az új törtet a legnagyobb közös tényező megtalálásával

Már van egy egyszerű töredékünk, így csak a legegyszerűbb számot kell kitalálnunk. Keresse meg a számláló és a nevező legnagyobb közös tényezőjét (GCF), és ossza el mindkettőt ezzel a számmal az egyszerűsítés érdekében.

A 770 és a 435 egyik közös tényezője az 5. Tehát ha elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét 5 -tel, akkor 154/87. A 154 -nek és a 87 -nek nincs közös tényezője, így ez a végső válasz!

2. módszer 2 -ből: A változó számokat tartalmazó összetett törtek egyszerűsítése

1. lépés Ha lehetséges, használja a fenti fordított szorzási módszert

Az egyértelműség kedvéért szinte minden összetett törtet le lehet egyszerűsíteni úgy, hogy a számlálót és a nevezőt egyetlen törttel kivonjuk, és megszorozzuk a számlálót a nevező reciprokával. Ide tartoznak a változókat tartalmazó komplex törtek is, bár minél összetettebb a változók kifejezése összetett törtekben, annál nehezebb és időigényesebb lesz a fordított szorzás használata. A változókat tartalmazó "könnyű" összetett törtek esetében jó választás az inverz szorzás, de az összetett törtek, amelyeknek a számlálójában és nevezőjében több változószám van, könnyebben egyszerűsíthetők az alább leírt alternatív módon.

• Például az (1/x)/(x/6) egyszerűsíthető fordított szorzással. 1/x × 6/x = 6/x². Itt nincs szükség alternatív módszerek alkalmazására.
• Azonban (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))) nehezebb egyszerűsíteni fordított szorzással. Az összetett törtek számlálóját és nevezőjét egyetlen törtekre redukálni, fordítva szorozni, és az eredményt a legegyszerűbb számokra redukálni, bonyolult folyamat lehet. Ebben az esetben az alábbi alternatív módszer könnyebb lehet.

2. lépés Ha a fordított szorzás nem praktikus, kezdje azzal, hogy megkeresi a törtszám LCM -jét a komplex törtben

Az első lépésben meg kell találni az összes törtszám LCM -jét egy összetett törtben - mind a számlálóban, mind a nevezőben. Általában, ha egy vagy több tört számnak van nevezője, akkor az LCM a nevezőben szereplő szám.

Ezt könnyebb megérteni egy példával. Próbáljuk meg egyszerűsíteni a fent említett komplex törteket, ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Ebben a komplex törtben a törtszámok (1)/(x+3) és (1)/(x-5). A két tört LCM -je a nevezőben szereplő szám: (x+3) (x-5).

3. lépés Szorozzuk meg a komplex tört számlálóját az újonnan talált LCM -mel

Ezután meg kell szorozni a komplex tört számát a törtszám LCM -jével. Más szóval, az összes összetett törtet megszorozzuk (KPK)/(KPK) értékkel. Ezt egymástól függetlenül megtehetjük, mert (KPK)/(KPK) egyenlő 1. Először szorozzuk meg magukat a számlálókat.

• Példánkban megszorozzuk a komplex törtet, ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))), azaz ((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5)). Meg kell szoroznunk a komplex tört számlálóján és nevezőjén, minden számot megszorozva (x + 3) (x-5).

  • Először szorozzuk meg a számlálókat: ((((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)

    • = ((((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x.)² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = x³ - 12x² +6x +145

4. lépés Szorozzuk meg a komplex tört nevezőjét az LCM -mel, ahogy a számlálóval tennénk

Szorozzuk tovább a komplex frakciót a megtalált LCM -mel a nevező felé haladva. Szorozz meg mindent, szorozz minden számot az LCM -el.

• Összetett frakciónk nevezője, ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) x +4 +((1) // (x-5)). Megszorozzuk a talált LCM-mel, (x+3) (x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
  • = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5).
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 22x - 57

5. lépés Hozzon létre egy új és egyszerűsített törtet az újonnan talált számlálóból és nevezőből

Miután megszorozta a törtet (KPK)/(KPK) és egyszerűsítette a számok kombinálásával, az eredmény egy egyszerű tört, amely nem tartalmaz törtszámot. Vegye figyelembe, hogy az eredeti komplex tört törtszámának LCM -mel való megszorzásával ennek a törtnek a nevezője kimerül, és a változó számot és egész számot a válasz számlálójában és nevezőjében hagyja, törtek nélkül.

A fent található számlálóval és nevezővel olyan törtet tudunk létrehozni, amely megegyezik az eredeti komplex törtével, de nem tartalmazza a törtszámot. A kapott számláló x³ - 12x² + 6x + 145, és a nevező x volt³ + 2x² - 22x - 57, így az új tört lesz (x³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

Tippek

• Mutassa be a munka minden lépését. A törtek zavaróak lehetnek, ha a lépések túl gyorsan számolnak, vagy fejből próbálják megtenni.
• Keressen példákat az összetett törtekre az interneten vagy a könyvekben. Kövesse az egyes lépéseket, amíg el nem sajátítható.