A sebességet úgy definiáljuk, mint egy tárgy sebességét egy bizonyos irányban. Sok esetben a sebesség megtalálásához használhatjuk a v = s/t egyenletet, ahol v egyenlő a sebességgel, s megegyezik az objektum teljes távolságával a kezdeti helyzetétől, és t egyenlő az idővel. Ez a módszer azonban csak az objektum "átlagos" sebességértékét adja meg az elmozdulása felett. A számítás segítségével kiszámíthatja az objektum sebességét az elmozdulás bármely pontján. Ezt az értéket "pillanatnyi sebességnek" nevezik, és kiszámítható az egyenlettel v = (ds)/(dt), vagy más szóval, az egyenlet deriváltja az objektum átlagos sebességére.
Lépés
1. módszer a 3 -ból: A pillanatnyi sebesség kiszámítása
1. lépés: Kezdje az objektum elmozdulási sebességének egyenletével
Ahhoz, hogy megkapjuk az objektum pillanatnyi sebességének értékét, először rendelkeznünk kell egy egyenlettel, amely leírja a helyzetét (elmozdulását tekintve) egy adott időpontban. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek változónak kell lennie s (amely egyedül áll) az egyik oldalon, és t másrészt (de nem feltétlenül önálló), például:
s = -1,5 t2+10 t+4
-
Az egyenletben a változók a következők:
-
-
Elmozdulás = s. Ez az a távolság, amelyet az objektum megtett a kiindulási pontjától. Például, ha egy tárgy 10 métert halad előre és 7 métert hátra, akkor a teljes megtett távolság 10 - 7 = 3 méter (nem 10 + 7 = 17 méter).
-
Idő = t. Ez a változó magától értetődő. Általában másodpercekben fejezik ki. # Vegyük az egyenlet deriváltját. Egy egyenlet deriváltja egy másik egyenlet, amely megadhatja a meredekség értékét egy bizonyos pontból. Az objektum elmozdítására vonatkozó képlet deriváltjának megkereséséhez származtassa le a függvényt a következő általános szabály szerint: Ha y = a*x , Származékos = a*n*xn-1. Ez a szabály minden olyan összetevőre vonatkozik, amely az egyenlet "t" oldalán található.
Azonnali sebesség kiszámítása 2. lépés
-
-
- Más szóval, kezdje az egyenlet "t" oldalának balról jobbra csökkenésével. Minden alkalommal, amikor eléri a "t" értéket, vonjon ki 1 -et a kitevő értékéből, és szorozza meg az egészet az eredeti kitevővel. Minden konstans (változó, amely nem tartalmazza a "t" -t) elveszik, mert megszorozzuk 0 -val. Ez a folyamat nem olyan nehéz, mint gondolnánk. Vegyük példaként a fenti lépésben szereplő egyenletet:
s = -1,5 t2+10 t+4
(2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10 t1 - 1 + (0) 4 t0
-3t1 + 10 t0
- 3t + 10
2. lépés. Cserélje ki az "s" változót a "ds/dt
"Annak érdekében, hogy megmutassa, hogy az új egyenlete az előző egyenlet származéka, cserélje le az" s "-ot" ds/dt "-re. Technikailag ez a jelölés azt jelenti, hogy" s származéka a t -hez képest. "Egyszerűbb módja annak, hogy megértsük, hogy ds /dt a meredekség (lejtés) értéke az első egyenlet bármely pontján, például az s = -1,5t egyenletből húzott egyenes meredekségének meghatározásához2 + 10t + 4 t = 5 esetén, akkor az "5" értéket be tudjuk dugni a derivált egyenletbe.
- Az alkalmazott példában az első derivált egyenlet így nézne ki:
ds/sec = -3t + 10
3. lépés Csatlakoztassa a t értékét az új egyenletbe, hogy megkapja a pillanatnyi sebesség értékét
Most, hogy megvan a derivált egyenlet, könnyű megtalálni a pillanatnyi sebességet bármely ponton. Csak annyit kell tennie, hogy kiválaszt egy t értéket, és beilleszti a derivált egyenletbe. Például, ha szeretné megtalálni a pillanatnyi sebességet t = 5 -nél, akkor a t értékét "5" -re cserélheti a ds/dt = -3 + 10 derivált egyenletben. Ezután oldja meg az egyenletet az alábbiak szerint:
ds/sec = -3t + 10
ds/sec = -3 (5) + 10
ds/sec = -15 + 10 = - 5 méter/másodperc
Ne feledje, hogy a fent használt mértékegység "méter/másodperc". Mivel mi kiszámítjuk az elmozdulást méterben, az időt másodpercben (másodpercben) és a sebességet általában egy bizonyos idő eltolódása, ez az egység használható
2. módszer a 3 -ból: A pillanatnyi sebesség grafikus becslése
1. lépés. Rajzoljon grafikont az objektum időbeli elmozdulásáról
A fenti szakaszban a derivált szerepel a képletként, amellyel megállapítható a meredekség egy adott ponton a levezetett egyenlethez. Valójában, ha egy objektum elmozdulását egyenesként ábrázolja a gráfon, "az egyenes meredeksége minden ponton megegyezik pillanatnyi sebességének értékével ezen a ponton".
- Egy objektum elmozdulásának leírásához használja az x -et az idő, az y -t az elmozdulás ábrázolására. Ezután rajzolja meg a pontokat, és t értékét illessze be az egyenletbe, és így kapja meg a grafikon s értékét, és jelölje t, s -t a grafikonon (x, y).
- Vegye figyelembe, hogy a grafikon az x tengely alá is kiterjedhet. Ha az objektum mozgását jelző vonal az x tengely alá ér, az azt jelenti, hogy az objektum visszafelé mozdult el a kezdeti helyzetéből. Általánosságban elmondható, hogy a grafikonja nem éri el az y tengely hátsó részét - mivel nem egy elhaladó objektum sebességét mérjük!
2. lépés Válasszon ki egy szomszédos P és Q pontot az egyenesben
Ahhoz, hogy megkapjuk az egyenes meredekségét egy P pontban, használhatunk egy trükköt, amelyet "a határ átvételének" nevezünk. A határ átvitele két pontot (P és Q, egy közeli pontot) tartalmaz az ívelt egyenesben, és az egyenes meredekségének megkeresését sokszoros összekötéssel, amíg a P és Q távolság közelebb nem kerül.
Tegyük fel, hogy az objektum elmozdulási sora tartalmazza az (1, 3) és (4, 7) értékeket. Ebben az esetben, ha meg akarjuk találni a meredekséget az (1, 3) pontban, akkor meg tudjuk határozni (1, 3) = P és (4, 7) = Q.
3. lépés Keresse meg a P és Q közötti meredekséget
A P és Q közötti meredekség a P és Q y értékeinek különbsége a P és Q x tengely közötti értékkülönbség mentén. Más szóval, H = (yQ - yP)/(xQ - xP), ahol H a két pont közötti meredekség. Példánkban a P és Q közötti meredekség értéke
H = (yQ- yP)/(xQ- xP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
4. lépés. Ismételje meg többször, mozgassa Q -t közelebb P -hez
A cél az, hogy csökkentse a távolságot P és Q között, hogy hasonlítson egy pontra. Minél közelebb van a távolság P és Q között, annál közelebb van az egyenes meredeksége a P pontban. Ezt többször is meg kell tenni a példaként használt egyenlettel, a (2, 4,8), (1,5, 3,95) és (1,25, 3.49) Q -ként és a kiindulópont (1, 3) P -ként:
Q = (2, 4,8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96
5. lépés. Becsülje meg a vonal meredekségét nagyon kis távolságra
Amint Q közelebb kerül P -hez, H egyre közelebb kerül a P pont meredekségének értékéhez. Végül, amikor eléri a nagyon kicsi értéket, H egyenlő a P meredekségével. Mivel nem tudunk nagyon kis távolságokat mérni vagy kiszámítani, a meredekséget csak akkor tudjuk megbecsülni a P -n, ha az a pontból egyértelmű, amit próbálunk.
- A példában, amikor Q közelebb kerülünk P -hez, 1,8, 1,9 és 1,96 értékeket kapunk H. Mivel ezek a számok közel vannak a 2 -hez, azt mondhatjuk, hogy 2 a P hozzávetőleges meredeksége.
- Ne feledje, hogy a meredekség az egyenes bármely pontján megegyezik az egyenlet deriváltjával. Mivel a használt vonal egy tárgy elmozdulását mutatja az idő múlásával, és mivel az előző részben láttuk, hogy az objektum pillanatnyi sebessége az adott pontban való elmozdulásának származéka, azt is kijelenthetjük, hogy "2 méter/másodperc "a pillanatnyi sebesség hozzávetőleges értéke t = 1 -nél.
3. módszer 3 -ból: Mintakérdések
1. lépés. Keresse meg a pillanatnyi sebesség értékét t = 4 -nél az s = 5t elmozdulási egyenletből3 - 3 t2 +2t+9.
Ez a probléma megegyezik az első rész példájával, azzal a különbséggel, hogy ez az egyenlet kockaegyenlet, nem teljesítményegyenlet, tehát ezt a problémát ugyanúgy meg tudjuk oldani.
- Először is vegyük az egyenlet deriváltját:
- Ezután adja meg a t (4) értékét:
s = 5 t3- 3 t2+2t+9
s = (3) 5 t(3 - 1) - (2) 3 t(2 - 1) + (1) 2 t(1 - 1) + (0) 9 t0 - 1
15t(2) - 6 t(1) + 2 t(0)
15t(2) - 6 t + 2
s = 15 t(2)- 6 t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 méter/másodperc
2. lépés. Grafikus becsléssel keressük meg a pillanatnyi sebességet (1, 3) az s = 4t elmozdulási egyenletnél2 - t.
Ehhez a feladathoz az (1, 3) értéket fogjuk használni P pontként, de egy másik pontot kell definiálnunk az adott pont mellett Q pontként. Ekkor csak meg kell határoznunk H értékét, és meg kell becsülnünk.
- Először keressük meg Q értékét először t = 2, 1,5, 1,1 és 1,01 -nél.
- Ezután határozza meg H értékét:
- Mivel H értéke nagyon közel van a 7 -hez, kijelenthetjük, hogy 7 méter/másodperca hozzávetőleges pillanatnyi sebesség (1, 3).
s = 4 t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, tehát Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, tehát Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4 (1,1)2 - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, tehát Q = (1,1, 3,74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, így Q = (1.01, 3.0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
11. lépés.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4,5)/(.5) =
9. lépés.
Q = (1,1, 3,74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (.74)/(. 1) = 7.3
Q = (1.01, 3.0704):
H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04
Tippek
- A gyorsulás értékének (a sebesség változása az idő múlásával) megtalálásához használja az első szakasz módszerét, hogy megkapja az elmozdulásfüggvény deriváltjának egyenletét. Ezután hozza létre újra a származtatott egyenletet, ezúttal a származtatott egyenletből. Ez megadja az egyenletet, hogy megtalálja a gyorsulást egy adott időpontban, mindössze annyit kell tennie, hogy megadja az időértékét.
- Az Y (eltolódás) és az X (idő) értékéhez kapcsolódó egyenlet nagyon egyszerű lehet, például Y = 6x + 3. Ebben az esetben a meredekség értéke állandó, és nincs szükség derivált keresésére annak kiszámításához., ahol az egyenes egyenlete szerint Y = mx + b 6 lesz.
- Az elmozdulás hasonló a távolsághoz, de van iránya, így az elmozdulás vektormennyiség, míg a távolság skaláris mennyiség. Az elmozdulás értéke lehet negatív, de a távolság mindig pozitív lesz.
