3 módszer az algebrai egyenletek faktorozására

2024 Szerző: Jason Gerald | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-15 08:16

A matematikában, faktoring olyan számok vagy kifejezések megkeresésének módja, amelyek megszorzásával adott számot vagy egyenletet hoznak létre. A faktoring hasznos készség az egyszerű algebra feladatok megoldásának megtanulására; a jól faktoráló képesség fontossá válik, ha másodfokú egyenletekkel és más polinomokkal foglalkozunk. A faktoring segítségével egyszerűsíthetők az algebrai kifejezések, hogy megkönnyítsék megoldásaikat. A faktorálás akár bizonyos lehetséges válaszok kiküszöbölésére is képes, sokkal gyorsabban, mint manuális megoldásuk.

Lépés

1 /3 -as módszer: Számok faktorálása és egyszerű algebrai kifejezések

1. lépés: Ismerje meg a faktorálás definícióját, ha egyetlen számra alkalmazzák

A faktorálás egyszerű fogalom, de a gyakorlatban bonyolult lehet, ha összetett egyenletekre alkalmazzák. Ezért a legegyszerűbb megközelíteni a faktorálás fogalmát úgy, hogy egyszerű számokkal kezdjük, majd egyszerű egyenletekkel folytatjuk, mielőtt végül bonyolultabb alkalmazásokra térünk át. A szám tényezői azok a számok, amelyeket megszorozva a szám keletkezik. Például a 12 tényezője 1, 12, 2, 6, 3 és 4, mert 1 × 12, 2 × 6 és 3 × 4 egyenlő 12 -vel.

• A gondolkodás másik módja az, hogy egy szám tényezői olyan számok, amelyek egyenletesen oszthatók a számra.

• Megtalálja a 60 -as szám összes tényezőjét? A 60 -as számot különböző célokra használjuk (percek egy órában, másodpercek percben, stb.), Mert meglehetősen sok más számmal osztható.

  A 60 -as faktorok 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 és 60

2. lépés. Értsd meg, hogy a változó kifejezéseket is figyelembe lehet venni

Ahogy maguk a számok is számításba vehetők, a szám együtthatóval rendelkező változók is figyelembe vehetők. Ehhez csak keresse meg a változó együtthatók tényezőit. A változó faktorozásának ismerete nagyon hasznos az adott változót tartalmazó algebrai egyenletek egyszerűsítéséhez.

• Például a 12x változót a 12 és x tényezők szorzataként írhatjuk fel. Írhatunk 12x 3 (4x), 2 (6x), stb. Értékre, a 12 -es tényezők közül a legjobban alkalmazva.

  Akár többszöröse is 12 -szeres tényező lehet. Más szóval, nem kell megállnunk a 3 (4x) vagy a 2 (6x) pontnál - 4x és 6x tényezővel számolhatunk, hogy 3 (2 (2x) és 2 (3 (2x)) képződjön. Természetesen ez a két kifejezés egyenértékűek

3. lépés Alkalmazza a szorzás elosztási tulajdonságát a faktor algebrai egyenleteire

Az egyes számok és a változók együtthatókkal való figyelembevételével kapcsolatos ismereteit felhasználva egyszerűsítheti az egyszerű algebrai egyenleteket, ha megtalálja azokat a tényezőket, amelyeket a számok és a változók megosztanak az algebrai egyenletekben. Általában az egyenlet egyszerűsítése érdekében megpróbáljuk megtalálni a legnagyobb közös tényezőt. Ez az egyszerűsítési folyamat a szorzás elosztási tulajdonsága miatt lehetséges, amely bármely a, b és c számra érvényes. a (b + c) = ab + ac.

• Próbáljunk ki egy példakérdést. A 12x + 6 algebrai egyenlet faktorizálásához először próbáljuk meg megtalálni a 12x és 6 legnagyobb közös tényezőjét..
• Ez a folyamat vonatkozik a negatív számokat és törteket tartalmazó egyenletekre is. Például x/2 + 4, egyszerűsíthető 1/2 (x + 8) -ra, és -7x + -21 -re -7 (x + 3).

2. módszer a 3 -ból: Másodfokú egyenletek faktorálása

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy az egyenlet másodfokú (ax² + bx + c = 0).

A másodfokú egyenletek ax alakúak² + bx + c = 0, ahol a, b és c számállandó, és nem egyenlő 0 -val (vegye figyelembe, hogy a lehet 1 vagy -1). Ha van olyan egyenlete, amelynek egy változója (x) egy x taggal rendelkezik két vagy több hatványra, akkor általában ezeket a kifejezéseket az egyenletben egyszerű algebrai műveletek segítségével mozgatja, hogy 0 -t kapjon az egyenlőjel és az ax mindkét oldalán²stb. a másik oldalon.

• Gondoljunk például egy algebrai egyenletre. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 egyszerűsíthető x -re² + 6x + 9 = 0, ami a négyzet alakja.
• Egyenletek, amelyeknek nagyobb az x teljesítménye, például x³, x⁴stb. nem másodfokú egyenletek. Ezek az egyenletek köbös egyenletek, a negyedik hatványhoz, és így tovább, kivéve, ha az egyenletet le lehet egyszerűsíteni, hogy eltávolítsuk ezeket a 2 -nél nagyobb teljesítményű x tagokat.

2. lépés. Másodfokú egyenletben, ahol a = 1, tényező (x+d) (x+e), ahol d × e = c és d+e = b

Ha másodfokú egyenlete x alakú² + bx + c = 0 (más szóval, ha az x kifejezés együtthatója² = 1), lehetséges (de nem garantált), hogy meglehetősen egyszerű gyorsírási módszer használható az egyenlet tényezővé tételére. Keress két számot, amelyek szorozva c -t adnak és összeadva előállítani b. Miután megkereste ezt a két d és e számot, írja be őket a következő kifejezésbe: (x+d) (x+e). Ez a két kifejezés, ha megszorozzuk, megadja a másodfokú egyenletét - más szóval, ezek a másodfokú egyenlet tényezői.

• Gondoljunk például az x másodfokú egyenletre² + 5x + 6 = 0. 3 -at és 2 -t megszorozva 6 -ot kapunk, és összeadva 5 -öt kapunk, így ezt az egyenletet egyszerűsíthetjük (x + 3) (x + 2) -re.

• Az alapvető gyorsírási módszer enyhe különbsége a hasonlóságokban rejlő különbségekben rejlik:

  • Ha a másodfokú egyenlet x alakú²-bx+c, a válasz ebben a formában: (x - _) (x - _).
  • Ha az egyenlet x alakban van²+ bx + c, a válasz így néz ki: (x + _) (x + _).
  • Ha az egyenlet x alakban van²-bx -c, a válasz (x + _) (x -_) formában van.
• Megjegyzés: az üres számok törtek vagy tizedesek lehetnek. Például az x egyenlet² A + (21/2) x + 5 = 0 a (x + 10) (x + 1/2) számításba kerül.

3. lépés Ha lehetséges, vegye figyelembe az ellenőrzéseket

Akár hiszed, akár nem, a bonyolult másodfokú egyenletek esetében az egyik megengedett faktorálási módszer a probléma vizsgálata, majd a lehetséges válaszok mérlegelése, amíg meg nem találja a helyes választ. Ezt a módszert faktoringnak is nevezik vizsgálat útján. Ha az egyenlet ax alakban van²+bx +c és a> 1, a tényezőválasz (dx +/- _) (ex +/- _) formában van, ahol d és e a nullától eltérő számok konstansai, amelyeket összeszorozva a-t kapunk. Sem d, sem e (vagy mindkettő) nem lehet 1, bár nem kell. Ha mindkettő 1, akkor alapvetően a fent leírt gyorsírási módszert használja.

Gondoljunk egy példaproblémára. 3x² - A 8x + 4 elsőre nehéznek tűnik. Ha azonban rájövünk, hogy a 3-nak csak két tényezője van (3 és 1), ez az egyenlet könnyebbé válik, mert tudjuk, hogy a válaszunknak (3x +/- _) (x +/- _) alakúnak kell lennie. Ebben az esetben a -2 üres helyek hozzáadása adja a helyes választ. -2 × 3x = -6x és -2 × x = -2x. -6x és -2x összesen -8x. -2 × -2 = 4, tehát láthatjuk, hogy a zárójelben feltüntetett kifejezések szorzásakor létrehozzák az eredeti egyenletet.

4. lépés. Oldja meg a négyzet kitöltésével

Bizonyos esetekben a másodfokú egyenletek gyorsan és egyszerűen kiszámíthatók speciális algebrai azonosságok használatával. Bármilyen másodfokú egyenlet x alakban² + 2xh + h² = (x + h)². Tehát ha az egyenletben a b értéke kétszerese a c értékének négyzetgyökének, akkor az egyenlet kiszámítható (x + (gyök (c)))².

Például az x egyenlet² A+6x+9 ilyen alakú. 3² 9 és 3 × 2 6. Tehát tudjuk, hogy ennek az egyenletnek a faktorai formája (x + 3) (x + 3), vagy (x + 3)².

5. lépés Használjon tényezőket másodfokú egyenletek megoldásához

Függetlenül attól, hogy a másodfokú egyenletet hogyan számította ki, az egyenlet figyelembevétele után az x értékére lehetséges válaszokat találhat úgy, hogy minden tényezőt nullával egyenlővé tesz, és megold. Mivel x értékét keresi, amely egyenletét nullával egyenlővé teszi, az x értéke, amely bármely tényezőt nullával egyenlővé tesz, lehetséges válasz a másodfokú egyenletre.

Térjünk vissza az x egyenlethez² + 5x + 6 = 0. Ezt az egyenletet (x + 3) (x + 2) = 0. Ha bármelyik tényező egyenlő 0-val, minden egyenlet 0, tehát lehetséges válaszunk x-re számok- szám, amely (x + 3) és (x + 2) egyenlő 0. Ezek a számok -3, illetve -2.

6. lépés. Ellenőrizze válaszait - néhány válasz félrevezető lehet

Ha megtalálja a lehetséges válaszokat az x -re, csatlakoztassa őket az eredeti egyenlethez, hogy megnézze, helyes -e a válasz. Néha a megtalált válaszok nem teszik az eredeti egyenletet nullával egyenlővé az újbóli bevitelkor. Ezt a választ deviánsnak nevezzük, és figyelmen kívül hagyjuk.

• Tegyünk -2 -t és -3 -at az x -be² + 5x + 6 = 0. Először, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Ez a válasz helyes, tehát -2 a helyes válasz.

• Most próbáljuk -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Ez a válasz is helyes, tehát a -3 a helyes válasz.

3. módszer 3 -ból: Egyéb egyenletek faktorálása

1. lépés. Ha az egyenletet a formában fejezzük ki²-b², tényezővé (a+b) (a-b).

A két változóval rendelkező egyenleteknek különböző tényezőik vannak, mint az alap másodlagos egyenletnek. Az a egyenlethez²-b² bármi, ahol a és b nem egyenlő 0-val, az egyenlet tényezői (a+b) (a-b).

Például a 9x egyenlet² - 4 éves² = (3x + 2y) (3x - 2y).

2. lépés. Ha az egyenletet a formában fejezzük ki²+2ab+b², tényező (a+b)².

Vegye figyelembe, hogy ha a trinomiális alak a²-2ab+b², a formai tényezők kissé eltérnek: (a-b)².

4x egyenlet² + 8xy + 4y² átírható 4x -re² + (2 × 2 × 2) xy + 4y². Láthatjuk, hogy a forma helyes, így biztosak lehetünk abban, hogy egyenletünk tényezői (2x + 2y)²

3. lépés. Ha az egyenletet a formában fejezzük ki³-b³, tényező az (a-b) (a²+ab+b²).

Végül már említettük, hogy a köbös egyenletek és még nagyobb hatványok is figyelembe vehetők, bár a faktorálási folyamat gyorsan nagyon bonyolulttá válik.

Például 8x³ - 27 éves³ (2x - 3 év) (4x² + ((2x) (3y)) + 9y²)

Tippek

• a²-b² figyelembe vehető, a²+b² nem lehet figyelembe venni.
• Ne feledje, hogyan kell tényezőt konstansolni. Ez segíthet.
• Legyen óvatos a törtekkel a faktorálási folyamatban, és dolgozzon helyesen és óvatosan a törtekkel.
• Ha az x alakú trinomiuma van²+ bx+ (b/2)², az alaktényező (x+(b/2))². (A négyzet kitöltésekor találkozhat ezzel a helyzettel.)
• Ne feledje, hogy a0 = 0 (a nulla szorzatának tulajdonsága).