3 módszer az algebrai kifejezések egyszerűsítésére

2024 Szerző: Jason Gerald | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-15 08:16

Az algebrai kifejezések egyszerűsítésének megtanulása az egyik kulcs az alapvető algebra elsajátításához, és a matematikusok leghasznosabb eszköze. Az egyszerűsítés lehetővé teszi a matematikusok számára, hogy összetett, hosszú és/vagy páratlan kifejezéseket egyszerűbb vagy könnyebb egyenértékű kifejezésekké alakítsanak át. Az alapvető egyszerűsítési készségeket nagyon könnyű elsajátítani - még azok számára is, akik utálják a matematikát. Néhány egyszerű lépés végrehajtásával lehetséges a leggyakrabban használt algebrai kifejezéstípusok egyszerűsítése, anélkül, hogy bármilyen speciális matematikai tudást kellene használni. A kezdéshez nézze meg az 1. lépést!

Lépés

A fontos fogalmak megértése

1. lépés Csoportosítsa a hasonló kifejezéseket változóik és hatáskörük szerint

Az algebrában a hasonló kifejezések azonos változó konfigurációjúak, azonos teljesítményűek. Más szavakkal, ahhoz, hogy két tag egyenlő legyen, ugyanazzal a változóval kell rendelkezniük, vagy egyáltalán nem, és minden változónak azonos a hatalma, vagy nincs kitevője. A változók sorrendje nem fontos.

Például 3x² és 4x² hasonlóak a kifejezésekhez, mert mindkettőnek van egy x változója a négyzet erejével. Azonban x és x² nem olyanok, mint a kifejezések, mert minden tagnak van egy x változója, amelynek más a teljesítménye. Szinte ugyanaz, a -3yx és az 5xz nem hasonló kifejezések, mert minden tagnak más a változója.

2. lépés. Faktorozza a számot a két tényező szorzataként

A faktorálás az a fogalom, amely szerint egy adott számot két tényező szorzataként kell leírni. A számoknak több tényezőcsoportja is lehet - például 12 az 1 × 12, 2 × 6 és 3 × 4 számokból, így azt mondhatjuk, hogy az 1, 2, 3, 4, 6 és 12 tényezők A 12 másik elképzelési módja az, hogy egy szám tényezői azok a számok, amelyek a számot egészben osztják.

• Például, ha a 20 -as tényezőt akarjuk figyelembe venni, akkor úgy írhatjuk 4 × 5.
• Vegye figyelembe, hogy a változó kifejezések is figyelembe vehetők. A -20x például írható 4 (5x).
• A prímszámokat nem lehet figyelembe venni, mert csak önmaguk és 1 oszthatók fel.

Lépés 3. Használja a KaPaK BoTaK rövidítést a műveletek sorrendjének megjegyzésére

Néha a kifejezés egyszerűsítése egyszerűen megoldja a műveletet az egyenletben, amíg az már nem működik. Ezekben az esetekben nagyon fontos megjegyezni a műveletek sorrendjét, hogy ne történjenek számtani hibák. A KaPaK BoTaK rövidítés segít emlékezni a műveletek sorrendjére - a betűk jelzik a végrehajtandó műveletek típusait, a következő sorrendben:

• Kkudarcot vall
• Pemel
• Kali
• B újra
• Thozzá
• Kgarnélarák

1. módszer a 3-ból: egyesítse a hasonló kifejezéseket

1. lépés. Írja le egyenletét

A legegyszerűbb algebrai egyenletek, amelyek csak néhány változó kifejezést tartalmaznak egész együtthatókkal, és nincsenek törtek, gyökerek stb., Gyakran néhány lépésben megoldhatók. A legtöbb matematikai feladatnál az egyenlet egyszerűsítésének első lépése, ha leírod!

Példaproblémaként a következő néhány lépésben a kifejezést használjuk 1 + 2x - 3 + 4x.

2. lépés. Hasonló törzsek azonosítása

Ezután keressen hasonló kifejezéseket az egyenletében. Ne feledje, hogy a hasonló kifejezéseknek ugyanaz a változójuk és kitevőjük.

Például azonosítsunk hasonló kifejezéseket az 1 + 2x - 3 + 4x egyenletünkben. A 2x és a 4x egyaránt ugyanazzal a változóval azonos teljesítményű (ebben az esetben x -nek nincs kitevője). Ezenkívül az 1 és a -3 hasonló kifejezések, mivel nincsenek változóik. Tehát az egyenletünkben, 2x és 4x és 1 és -3 hasonló törzsek.

Lépés 3. Kombinálja a hasonló kifejezéseket

Most, hogy azonos kifejezéseket azonosított, kombinálhatja őket az egyszerűsítés érdekében. Adja hozzá a kifejezéseket (vagy vonja le negatív kifejezések esetén), hogy az azonos változóval és kitevővel rendelkező kifejezéskészletet egyetlen egyenlő tagra csökkentse.

• Tegyünk hozzá hasonló kifejezéseket a példánkhoz.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

4. lépés. Hozzon létre egy egyszerűbb egyenletet az egyszerűsített kifejezésekből

A hasonló kifejezések kombinálása után alkosson egyenletet az új, kisebb kifejezésekből. Egy egyszerűbb egyenletet kap, amely egy kifejezést tartalmaz az eredeti egyenlet különböző változó- és hatványhalmazaira. Ez az új egyenlet megegyezik az eredeti egyenlettel.

Példánkban az egyszerűsített kifejezéseink 6x és -2, tehát az új egyenletünk az 6x - 2. Ez az egyszerű egyenlet megegyezik az eredetivel (1 + 2x - 3 + 4x), de rövidebb és könnyebb vele dolgozni. Könnyebb a tényezőket is figyelembe venni, amelyeket az alábbiakban megvizsgálunk, ami egy másik fontos egyszerűsítő készség.

5. lépés Kövesse a műveletek sorrendjét, amikor hasonló kifejezéseket kombinál

A nagyon egyszerű egyenletekben, mint amin a fenti példaproblémán dolgoztunk, a hasonló kifejezések azonosítása egyszerű. Bonyolultabb egyenletekben, például zárójeles kifejezéseket, törteket és gyököket tartalmazó kifejezésekben, például a kombinálható kifejezések nem feltétlenül láthatók. Ezekben az esetekben kövesse a műveletek sorrendjét, szükség szerint hajtson végre műveleteket az Ön kifejezésében szereplő feltételek szerint, amíg az összeadás és kivonás műveletek megmaradnak.

• Például használjuk az 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x egyenletet. Helytelen lenne 3x és 2x azonnal hasonló kifejezéseknek tekinteni, és egyesíteni őket, mert a kifejezés zárójelei azt jelzik, hogy először más műveleteket kell elvégeznünk. Először aritmetikai műveleteket hajtunk végre a kifejezésen a műveletek sorrendjében, hogy megkapjuk a használható kifejezéseket. Lásd a következőket:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x. Most, hogy az egyetlen fennmaradó művelet az összeadás és a kivonás, hasonló kifejezéseket kombinálhatunk.
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

2. módszer a 3 -ból: Faktoring

1. lépés. Határozza meg a kifejezés legnagyobb közös tényezőjét

A faktorálás egy módja annak, hogy leegyszerűsítsük a kifejezést azzal, hogy eltávolítjuk azokat a tényezőket, amelyek azonosak a kifejezésben. Kezdésként keresse meg az összes kifejezés legnagyobb közös tényezőjét - más szóval, a legnagyobb számot, amely az egész kifejezés összes tagját megosztja.

• Használjuk a 9x egyenletet² + 27x - 3. Figyeljük meg, hogy ebben az egyenletben minden tag osztható 3 -mal. Mivel a tagok nem oszthatók nagyobb számmal, azt mondhatjuk, hogy

  3. lépés. a legnagyobb közös tényezőnk.

2. lépés. Oszd meg a kifejezésben szereplő kifejezéseket a legnagyobb közös tényezővel

Ezután ossza el az egyenlet minden tagját a most talált legnagyobb közös tényezővel. A hányadosoknak kisebb lesz az együtthatója, mint az eredeti egyenletnek.

• Vegyük egyenletünket a legnagyobb közös tényezőjével, a 3. Ehhez minden tagot el kell osztani 3 -mal.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Így az új kifejezésünk az 3x² + 9x - 1.

3. lépés. Írja le kifejezését a legnagyobb közös tényező szorzataként szorozva a fennmaradó kifejezésekkel

Az új kifejezés nem egyenértékű az eredeti kifejezéssel, ezért helytelen lenne azt állítani, hogy a kifejezés egyszerűsödött. Ahhoz, hogy új kifejezésünket egyenlővé tegyük az eredetivel, bele kell foglalnunk azt a tényt, hogy kifejezésünket a legnagyobb közös tényező osztotta meg. Zárja be zárójelbe az új kifejezést, és írja be az eredeti egyenlet legnagyobb közös tényezőjét a zárójelbe.

Példa egyenletünkhöz 3x² + 9x - 1, zárójelbe tehetjük a kifejezést, és megszorozhatjuk az eredeti egyenlet legnagyobb közös tényezőjével, hogy 3 (3x² + 9x - 1). Ez az egyenlet egyenlő az eredeti egyenlettel, 9x² +27x - 3.

4. lépés: A frakcionálás egyszerűsíti a törteket

Most azon tűnődhet, miért használják a faktoringot, ha a legnagyobb közös tényező eltávolítása után is újra meg kell szorozni az új kifejezést ezzel a tényezővel. Valójában a faktoring lehetővé teszi a matematikusok számára, hogy különféle trükköket hajtsanak végre a kifejezések egyszerűsítése érdekében. Egyik legegyszerűbb trükkje kihasználja azt a tényt, hogy a tört számlálóját és nevezőjét azonos számmal megszorozva egyenértékű törteket kaphatunk. Lásd a következőket:

• Mondjuk a kezdeti példakifejezésünket, 9x² + 27x - 3, a nagyobb tört kvantifikátora, ahol 3 a számláló. A tört így fog kinézni: (9x² + 27x - 3)/3. Faktort használhatunk a törtek egyszerűsítésére.

  • Helyettesítsük az eredeti kifejezésünk faktorálási formáját a számlálóban szereplő kifejezéssel: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • Figyeljük meg, hogy most mind a számláló, mind a nevező együtthatója 3.² + 9x - 1)/1.
  • Mivel minden tört, amelynek nevezője 1, egyenértékű a számlálóban szereplő kifejezésekkel, azt mondhatjuk, hogy a kezdeti törtünk egyszerűsíthető 3x² + 9x - 1.

3. módszer 3 -ból: További egyszerűsítési készségek alkalmazása

1. lépés: Egyszerűsítse a törteket ugyanazokkal a tényezőkkel való osztással

Amint fentebb említettük, ha az egyenlet számlálója és nevezője azonos tényezőkkel rendelkezik, akkor ezek a tényezők teljesen elhagyhatók a törtben. Néha szükség lesz a számláló, a nevező vagy mindkettő figyelembevételére (mint a fenti példaprobléma esetében), míg néha ugyanazok a tényezők gyakran nyilvánvalóak. Vegye figyelembe, hogy az egyszerű kifejezéshez a számláló feltételeit is el lehet osztani a nevezőben található egyenlettel.

• Dolgozzunk egy olyan példán, amely nem igényel számításokat. Törtekhez (5x² + 10x + 20)/10, a számláló minden tagját eloszthatjuk 10 -el az egyszerűsítés érdekében, még akkor is, ha az együttható 5 az 5x -ben² nem nagyobb 10 -nél, így a 10 nem tényező.

  Ha megtesszük, megkapjuk ((5x²)/10) + x + 2. Ha akarjuk, az első tagot átírhatjuk (1/2) x -re² így (1/2) x -et kapunk² +x+2.

2. lépés. A gyökerek egyszerűsítéséhez használja a négyzet alakú tényezőket

A gyökérjel alatti kifejezést gyökér kifejezésnek nevezzük. Ez a kifejezés egyszerűsíthető, ha azonosítja a négyzetes tényezőket (olyan tényezőket, amelyek egész számok négyzetei), és külön elvégzi a négyzetgyök műveletet, hogy eltávolítsa őket a négyzetgyök jel alól.

• Tegyünk egy egyszerű példát - (90). Ha a 90 -et két tényezőjének, a 9 -nek és a 10 -nek a szorzataként gondoljuk, akkor a 9 -es négyzetgyökét, amely a 3 egész szám, és eltávolíthatjuk a radikális előjelből. Más szavakkal:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Lépés 3. Két kitevő szorzásakor adjon hozzá kitevőket; osztáskor kivonni

Néhány algebrai kifejezés megköveteli a szorzó vagy osztó hatványfogalmakat. Ahelyett, hogy minden egyes kitevőt kézzel számolna vagy osztana, csak szorzással adja hozzá a kitevőket, és osztáskor vonjon vissza, hogy időt takarítson meg. Ez a koncepció a változó kifejezések egyszerűsítésére is használható.

• Például használjuk a 6x kifejezést³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). Minden olyan esetben, amikor a kitevők szorzására vagy osztására van szükség, kivonunk vagy hozzáadunk kitevőket, hogy gyorsan megtaláljuk az egyszerű kifejezést. Lásd a következőket:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Működésének magyarázatát lásd alább:

  • A kifejezések szorzása a kitevőkben valójában olyan, mint a kifejezések szorzása nem a hosszú kitevőkben. Például, mert x³ = x × x × x és x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), vagy x⁸.
  • Szinte ugyanaz, ha osztó kitevők olyanok, mint osztó tagok, nem hosszú kitevők. x⁵/x³ = (x x x x x x x x x)/(x x x x x x). Mivel a számláló minden egyes tagját át lehet húzni úgy, hogy ugyanazt a kifejezést találjuk a nevezőben, csak két x maradt a számlálóban, és semmi sem maradt alul, így az x válasz adható.².

Tippek

• Mindig ne feledje, hogy ezeket a számokat pozitív és negatív jelekkel kell elképzelni. Sokan megállnak azon, hogy elgondolkodjanak, milyen jelet tegyek ide?
• Kérjen segítséget, ha szüksége van rá!
• Az algebrai kifejezések egyszerűsítése nem könnyű, de ha megérted, életed végéig használni fogod.

Figyelem

• Mindig keressen hasonló törzseket, és ne tévesszen meg rang szerint.
• Ügyeljen arra, hogy ne adjon hozzá számokat, hatásköröket vagy műveleteket, amelyeket nem véletlenül kell végrehajtani.