A gyökforma egy algebrai utasítás, amely a négyzetgyök (vagy kockagyök vagy ennél magasabb) jelével rendelkezik. Ez az űrlap gyakran két számot jelenthet, amelyek azonos értékűek, annak ellenére, hogy első pillantásra különbözőnek tűnhetnek (például 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Ezért szükségünk van egy „standard képletre” az ilyen formákhoz. Ha két, a standard képletben szereplő állítás eltérően jelenik meg, akkor nem ugyanaz. A matematikusok egyetértenek abban, hogy a másodfokú forma standard megfogalmazása megfelel a következő követelményeknek:
- Kerülje a törtek használatát
- Ne használjon töredékes képességeket
- Kerülje a gyökforma használatát a nevezőben
- Nem tartalmazza két gyökforma szorzását
- A gyökér alatti számokat már nem lehet gyökerezni
Ennek egyik gyakorlati haszna a feleletválasztós vizsgák. Ha talál választ, de a válasz nem egyezik meg a rendelkezésre álló lehetőségekkel, próbálja egyszerűsíteni egyszerű képletté. Mivel a kérdezőbiztosok általában szabványos képletekbe írják a válaszokat, tegye ugyanezt a válaszaival, hogy megfeleljen az övéknek. Az esszékérdésekben az olyan parancsok, mint az "egyszerűsítse a választ" vagy az "egyszerűsítse az összes gyökeret" azt jelentik, hogy a diákoknak el kell végezniük a következő lépéseket, amíg meg nem felelnek a fenti általános képletnek. Ez a lépés használható egyenletek megoldására is, bár bizonyos típusú egyenleteket könnyebb megoldani nem szabványos képletekben.
Lépés
1. lépés Ha szükséges, tekintse át a gyökerek és kitevők működési szabályait (mindkettő egyenlő - a gyök töredékek hatalma), mivel szükségünk van rájuk ebben a folyamatban
Tekintse át a polinomok és a racionális formák egyszerűsítésére vonatkozó szabályokat is, mivel egyszerűsítenünk kell őket.
1. módszer a 6 -ból: Tökéletes négyzetek
1. lépés: Egyszerűsítse le a tökéletes négyzeteket tartalmazó gyökereket
A tökéletes négyzet önmagában egy szám szorzata, például 81, amely 9 x 9 szorzata. A tökéletes négyzet egyszerűsítése érdekében csak távolítsa el a négyzetgyököt, és írja le a szám négyzetgyökét.
- Például a 121 tökéletes négyzet, mert 11 x 11 egyenlő 121 -gyel. Tehát a gyökér (121) 11 -re egyszerűsíthető a gyökérjel eltávolításával.
- Ennek a lépésnek a megkönnyítése érdekében emlékeznie kell az első tizenkét tökéletes négyzetre: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
2. lépés: Egyszerűsítse le a tökéletes kockákat tartalmazó gyökereket
A tökéletes kocka az a szorzat, ha kétszer megszorozzuk egy számot, például 27 -et, ami a 3 x 3 x 3 szorzata. A tökéletes kocka gyökformájának egyszerűsítéséhez csak távolítsa el a négyzetgyököt, és írja le a négyzetgyököt a számból.
Például a 343 tökéletes kocka, mert 7 x 7 x 7 szorzata. Tehát a 343 kockagyöke 7
2. módszer a 6 -ból: Töredékek gyökerekké alakítása
Vagy fordítva változtatni (néha segít), de ne keverje össze ugyanazzal az állítással, mint a root (5) + 5^(3/2). Feltételezzük, hogy a gyökér formát szeretné használni, és a gyökér (n) szimbólumokat használjuk a négyzetgyökhöz, és az sqrt^3 (n) jelzést a kockagyökhöz.
1. lépés Vegyünk egyet a tört hatványára, és alakítsuk át gyökért, például x^(a/b) = root x^a b hatványává
Ha a négyzetgyök tört alakú, alakítsa át normál formává. Például a 4 négyzetgyöke (2/3) = gyök (4)^3 = 2^3 = 8
2. lépés Konvertálja a negatív kitevőket törtekre, például x^-y = 1/x^y
Ez a képlet csak állandó és racionális kitevőkre vonatkozik. Ha olyan űrlappal foglalkozik, mint a 2^x, ne változtassa meg, még akkor sem, ha a probléma azt jelzi, hogy x lehet tört vagy negatív szám
3. lépés. Ugyanazon törzs egyesítése és egyszerűsítse a kapott racionális formát.
3. módszer a 6 -ból: Töredékek megszüntetése gyökerekben
A standard képlet megköveteli, hogy a gyök egész szám legyen.
1. lépés Nézze meg a négyzetgyök alatti számot, ha még mindig tartalmaz egy törtet
Ha mégis,…
Lépés 2. Váltson két gyökből álló törtre az identitásgyök (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b) használatával
Ne használja ezt az azonosságot, ha a nevező negatív, vagy ha változó, amely negatív lehet. Ebben az esetben először egyszerűsítse a törtet
3. lépés: Egyszerűsítse az eredmény minden tökéletes négyzetét
Vagyis konvertálja az sqrt (5/4) -et sqrt (5)/sqrt (4) -re, majd egyszerűsítse sqrt (5)/2 -re.
4. lépés. Használjon más egyszerűsítési módszereket, például az összetett törtek egyszerűsítését, az egyenlő kifejezések kombinálását stb
4. módszer a 6 -ból: A szorzó gyökerek kombinálása
1. lépés: Ha az egyik gyökérformát megszorozza a másikkal, egyesítse a kettőt egy négyzetgyökben a következő képlet segítségével:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Például változtassa meg a root (2)*root (6) parancsot rootra (12).
- A fenti azonosság, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), akkor érvényes, ha az sqrt előjele alatti szám nem negatív. Ne használja ezt a képletet, ha a és b negatív, mert elköveti azt a hibát, hogy sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). A bal oldali utasítás értéke -1 (vagy nem definiált, ha nem használ komplex számokat), míg a jobb oldali +1. Ha a és/vagy b negatív, először "változtassa meg" a jelet, mint az sqrt (-5) = i*sqrt (5). Ha a gyökérjel alatti űrlap olyan változó, amelynek előjele ismeretlen a kontextusból, vagy lehet pozitív vagy negatív, hagyja egyelőre úgy, ahogy van. Használhatja az általánosabb azonosságot, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |), amely minden a és b valós számra vonatkozik, de általában ez a képlet nem sokat segít, mert bonyolultabbá teszi az sgn (signum) függvény használatát.
- Ez az azonosság csak akkor érvényes, ha a gyökformák azonos kitevővel rendelkeznek. Szorozhat különböző négyzetgyököket, például sqrt (5)*sqrt^3 (7), ha ugyanazzá a négyzetgyökévé alakítja át őket. Ehhez átmenetileg alakítsa át a négyzetgyököt töredékké: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Ezután a szorzási szabály segítségével szorozza meg a kettőt a 6125 négyzetgyökével.
5. módszer a 6 -ból: A négyzetfaktor eltávolítása a gyökérből
1. lépés. A tökéletlen gyökerek kiemelt faktorokká történő beépítése
A tényező olyan szám, amelyet egy másik számmal megszorozva számot alkotunk - például az 5 és a 4 két tényező. A tökéletlen gyökerek lebontásához írja le a szám összes tényezőjét (vagy a lehető legtöbbet, ha a szám túl nagy), amíg meg nem találja a tökéletes négyzetet.
Például próbálja megtalálni a 45: 1, 3, 5, 9, 15 és 45 összes tényezőjét. 9 x 5 = 45
2. lépés Távolítsa el az összes szorzót, amely tökéletes négyzet a négyzetgyökből
A 9 tökéletes négyzet, mert a 3 x 3 szorzata. Vegye ki a 9 -et a négyzetgyökből, és cserélje ki 3 -ra a négyzetgyök előtt, és hagyjon 5 -öt a négyzetgyökben. Ha a "négyzetgyököt" visszahelyezi a négyzetgyökbe, akkor magától szorozva 9 lesz, ha pedig 5 -tel, akkor 45 -öt ad vissza. A 3 gyök 5 -ből egy egyszerű módja a 45 gyökének kifejezésére.
Vagyis sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
3. lépés. Keresse meg a tökéletes négyzetet a változóban
A négyzet négyzetgyöke | a |. Ezt egyszerűsítheti "a" -ra, ha az ismert változó pozitív. Az a négyzetgyöke 3 -as hatványra, ha a négyzet a négyzetgyökére bontjuk a - ne feledje, hogy a kitevők összeadódnak, ha két számot megszorozunk az a hatványára, tehát az a négyzet az a -val egyenlő a harmadik hatalom.
Ezért egy tökéletes négyzet kockás formában négyzet
4. lépés Távolítsa el a tökéletes négyzetet tartalmazó változót a négyzetgyökből
Most vegyünk egy négyzetet a négyzetgyökből, és változtassuk | a | -ra. Az a gyök egyszerű alakja 3 hatványáig | a | gyökér a.
5. lépés Kombinálja az egyenlő feltételeket és egyszerűsítse a számítási eredmények összes gyökerét
6. módszer a 6 -ból: Racionalizálja a nevezőt
1. lépés: A standard képlet megköveteli, hogy a nevező a lehető legnagyobb egész szám legyen (vagy polinom, ha változót tartalmaz)
-
Ha a nevező egy kifejezésből áll a gyökérjel alatt, például […]/gyökér (5), akkor szorozza meg a számlálót és a nevezőt is azzal a gyökérrel, hogy […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = […]*gyökér (5)/5.
Kockagyökerek vagy magasabbak esetén szorozzuk meg a megfelelő gyökérrel, hogy a nevező racionális legyen. Ha a nevező gyök^^(5), szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt az sqrt^3 (5)^2 értékkel
-
Ha a nevező két négyzetgyök összeadásából vagy kivonásából áll, például sqrt (2) + sqrt (6), akkor szorozzuk meg a mennyiséget és a nevezőt a konjugátumukkal, amely ugyanaz az alak, de az ellenkező előjellel. Ekkor […]/(gyökér (2) + gyökér (6)) = […] (gyökér (2) -gyökér (6))/(gyökér (2) + gyökér (6)) (gyökér (2) -gyökér (6)). Ezután használja az azonosító képletet két négyzet különbségére [(a + b) (ab) = a^2-b^2] a nevező ésszerűsítésére, egyszerűsítésére (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Ez vonatkozik az olyan nevezőkre is, mint az 5 + sqrt (3), mert minden egész szám más egésznek a gyökere. [1/(5 + négyzet (3)) = (5 négyzetméter (3))/(5 + négyzetméter (3)) (5 négyzetméter (3)) = (5 négyzetméter (3))/(5^ 2 négyzetméter (3)^2) = (5 négyzetméter (3))/(25-3) = (5 négyzetméter (3))/22]
- Ez a módszer vonatkozik olyan gyökerek hozzáadására is, mint az sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Ha csoportokba sorolja őket (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) és megszorozza (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), akkor a válasz nem racionális, hanem még mindig egy+b*gyökben (30), ahol a és b már racionális számok. Ezután ismételje meg a folyamatot az a+b*sqrt (30) és (a+b*sqrt (30)) konjugátumokkal (az a-b*sqrt (30)) racionális lesz. Lényegében, ha ezzel a trükkel eltávolíthatja a gyökérjelet a nevezőből, akkor többször is megismételheti az összes gyökér eltávolítását.
- Ez a módszer használható olyan nevezőkre is, amelyek magasabb gyökeret tartalmaznak, például a negyedik gyökét a 3 -nak vagy a hetedik gyökét. Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt a nevező konjugátumával. Sajnos közvetlenül nem kaphatjuk meg a nevező konjugátumát, és ezt nehéz megtenni. Megtalálhatjuk a választ egy algebrai könyvben a számelméletről, de ebbe nem megyek bele.
2. lépés. Most a nevező racionális formában van, de a számláló rendetlenségnek tűnik
Most már csak annyit kell tennie, hogy megszorozza a nevező konjugátumával. Folytassa és szorozzon, mint a polinomokat. Ellenőrizze, hogy lehetséges -e bármely kifejezést kihagyni, egyszerűsíteni vagy kombinálni.
3. lépés. Ha a nevező negatív egész szám, akkor szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt -1 -gyel, hogy pozitív legyen
Tippek
- Online kereshet olyan webhelyeket, amelyek segíthetnek a gyökér űrlapok egyszerűsítésében. Csak írja be az egyenletet a gyökérjellel, és az Enter megnyomása után megjelenik a válasz.
- Egyszerűbb kérdések esetén előfordulhat, hogy nem használja a cikk összes lépését. Bonyolultabb kérdések esetén előfordulhat, hogy többször is több lépést kell használnia. Végezze el néhányszor az "egyszerű" lépéseket, és ellenőrizze, hogy a válasz megfelel -e a korábban megfogalmazott szabványos megfogalmazási kritériumoknak. Ha a válasz a szokásos képletben van, akkor kész; de ha nem, akkor ellenőrizze a fenti lépések egyikét, hogy segítsen végrehajtani.
- A legtöbb hivatkozás az "ajánlott standard képletre" a gyökerek formájára vonatkozik a komplex számokra is (i = gyök (-1)). Még akkor is, ha egy utasítás gyök helyett "i" -t tartalmaz, kerülje a nevezőket, amelyek még mindig i -t tartalmaznak, amennyire csak lehetséges.
- A cikk néhány utasítása feltételezi, hogy minden gyök négyzet. Ugyanezek az általános elvek érvényesek a magasabb hatalmak gyökereire is, bár bizonyos részekkel (különösen a nevező racionalizálásával) meglehetősen nehéz lehet dolgozni. Döntse el maga, milyen formát szeretne, például sqr^3 (4) vagy sqr^3 (2)^2. (Nem emlékszem, hogy a tankönyvekben általában milyen formát javasolnak).
- A cikk néhány utasítása a "standard képlet" szót használja a "normál forma" leírására. A különbség az, hogy a standard képlet csak az 1+sqrt (2) vagy az sqrt (2) +1 formát fogadja el, és a többi formát nem szabványosnak tekinti; A sima forma feltételezi, hogy Ön, olvasó, elég okos ahhoz, hogy lássa e két szám "hasonlóságát", még akkor is, ha írásban nem azonosak ("ugyanaz" azt jelenti számtani tulajdonságukban (kommutatív összeadás), nem pedig algebrai tulajdonsága (root) (2) az x^2-2 gyök nem non-negatív gyöke.) Reméljük, hogy az olvasók megértik ennek a terminológiának az enyhe gondatlanságát.
- Ha a nyomok bármelyike kétértelműnek vagy ellentmondásosnak tűnik, hajtsa végre az egyértelmű és következetes lépéseket, majd válassza ki a kívánt formát.
