Egy „egyenletrendszerben” két vagy több egyenlet egyidejű megoldását kérik. Ha a két egyenletnek két különböző változója van, például x és y, a megoldás elsőre nehéznek tűnhet. Szerencsére, ha már tudja, mit kell tennie, egyszerűen használhatja algebrai képességeit (és a törtszámítás tudományát) a probléma megoldásához. Ismerje meg, hogyan kell megrajzolni ezt a két egyenletet, ha vizuális tanuló, vagy a tanár megköveteli. A rajzok segítenek azonosítani a témát, vagy ellenőrizni a munka eredményeit. Ez a módszer azonban lassabb, mint a többi módszer, és nem használható minden egyenletrendszerre.
Lépés
1. módszer a 3 -ból: A helyettesítési módszer alkalmazása
1. lépés. Mozgassa a változókat az egyenlet másik oldalára
A helyettesítési módszer azzal kezdődik, hogy „megkeressük az x értékét” (vagy bármely más változót) az egyik egyenletben. Tegyük fel például, hogy a probléma egyenlete az 4x + 2y = 8 és 5x + 3y = 9. Kezdje az első egyenlet kidolgozásával. Rendezze át az egyenletet úgy, hogy mindkét oldalon kivonja a 2y -t. Így kapsz 4x = 8-2 év.
Ez a módszer gyakran törteket használ a végén. Ha nem szereti a törtszámlálást, próbálja ki az alábbi eliminációs módszert
2. lépés. Oszd fel az egyenlet mindkét oldalát, hogy "megtaláld az x értékét"
Miután az x kifejezés (vagy bármilyen változó, amelyet használ) egyedül van az egyenlet egyik oldalán, ossza el az egyenlet mindkét oldalát az együtthatókkal úgy, hogy csak a változó maradjon. Mint például:
- 4x = 8-2 év
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
3. lépés Csatlakoztassa az első egyenlet x értékét a második egyenlethez
Feltétlenül csatlakoztassa a második egyenlethez, ahelyett, amin éppen dolgozott. Helyettesítse (cserélje ki) az x változót a második egyenletben. Így a második egyenletnek már csak egy változója van. Mint például:
- Ismert x = 2 - y.
- A második egyenleted 5x + 3y = 9.
- Miután a második egyenlet x változóját felcseréltük az első egyenlet x értékével, a "2 - y" értéket kapjuk: 5 (2 - y) + 3y = 9.
4. lépés. Oldja meg a fennmaradó változókat
Most az egyenletének csak egy változója van. Számítsa ki az egyenletet szokásos algebrai műveletekkel, hogy megtalálja a változó értékét. Ha a két változó megszünteti egymást, ugorjon egyenesen az utolsó lépésre. Ellenkező esetben az egyik változó értékét kapja:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Ha nem érti ezt a lépést, tanulja meg a törtek hozzáadását.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
5. lépés. A kapott válasz segítségével keresse meg x valódi értékét az első egyenletben
Ne hagyja abba még, mert a számításai még nem készültek el. A kapott választ be kell dugnia az első egyenletbe, hogy megtalálja a fennmaradó változók értékét:
- Ismert y = -2
- Az első egyenlet egyik egyenlete az 4x + 2y = 8. (Bármelyiket használhatja.)
- Cserélje le az y változót -2 -re: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
6. lépés. Tudja, mit kell tennie, ha a két változó megszünteti egymást
Amikor belép x = 3y+2 vagy hasonló válasz a második egyenletre, vagyis olyan egyenletet próbál kapni, amely csak egy változót tartalmaz. Néha csak megkapja az egyenletet nélkül változó. Ellenőrizze kétszer a munkáját, és győződjön meg arról, hogy az első egyenletet a második egyenletbe helyezte (átrendezte), ahelyett, hogy visszatérne az első egyenlethez. Ha biztos abban, hogy nem tett semmi rosszat, írja be az alábbi eredmények egyikét:
- Ha az egyenletnek nincs változója, és nem igaz (például 3 = 5), akkor ez a probléma nincs válasz. (Ha ezt ábrázoljuk, ez a két egyenlet párhuzamos, és soha nem találkozik.)
- Ha az egyenletnek nincs változója és Helyes, (pl. 3 = 3), ami azt jelenti, hogy a kérdésnek van korlátlan válaszok. Az első egyenlet pontosan ugyanaz, mint a második. (Ábrázolva ez a két egyenlet ugyanaz az egyenes.)
2. módszer a 3 -ból: Az eliminációs módszer alkalmazása
1. lépés Keresse meg az egymást kizáró változókat
Néha a probléma egyenlete már megvan töröljék egymást ha összeadják. Például, ha elvégzi az egyenletet 3x + 2y = 11 és 5x - 2y = 13, a "+2y" és a "-2y" kifejezések törlik egymást, és eltávolítják az "y" változót az egyenletből. Nézze meg a feladat egyenletét, és nézze meg, vannak -e olyan változók, amelyek kioltják egymást, mint a példában. Ha nem, folytassa a következő lépéssel.
2. lépés: Szorozzuk meg az egyenletet eggyel, hogy egy változó eltávolításra kerüljön
(Ha a változók már kioltják egymást, hagyja ki ezt a lépést.) Ha az egyenletben nincsenek olyan változók, amelyek önmagukban törlődnek, módosítsa az egyik egyenletet, hogy ki tudják zárni egymást. Nézze meg az alábbi példákat, hogy könnyen megértse őket:
- A feladatban szereplő egyenletek a következők 3x - y = 3 és - x + 2y = 4.
- Módosítsuk az első egyenletet úgy, hogy a változó y töröljék egymást. (Használhatja a változót x. A végső válasz ugyanaz lesz.)
- Változó - y az első egyenletben ki kell küszöbölni + 2 év a második egyenletben. Hogyan, szaporodj - y 2 -vel.
- Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 2 -vel, az alábbiak szerint: 2 (3x - y) = 2 (3), így 6x - 2y = 6. Most törzs - 2 éves törli egymást +2 év a második egyenletben.
3. lépés. Kombinálja a két egyenletet
A trükk az, hogy az első egyenlet jobb oldalát hozzáadjuk a második egyenlet jobb oldalához, az első egyenlet bal oldalát pedig a második egyenlethez. Ha helyesen csináljuk, az egyik változó törli egymást. Próbáljuk meg folytatni a számítást az előző példából:
- A két egyenleted az 6x - 2y = 6 és - x + 2y = 4.
- Add össze a két egyenlet bal oldalát: 6x - 2y - x + 2y =?
- Add össze a két egyenlet jobb oldalát: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. lépés. Szerezze be az utolsó változó értékét
Egyszerűsítse összetett egyenletét, és dolgozzon standard algebrával, hogy megkapja az utolsó változó értékét. Ha az egyszerűsítés után az egyenletnek nincs változója, folytassa a szakasz utolsó lépésével.
Ellenkező esetben értéket kap az egyik változóhoz. Mint például:
- Ismert 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Változók csoportosítása x és y együtt: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Egyszerűsítse az egyenletet: 5x = 10
- Keresse meg az x értéket: (5x)/5 = 10/5, megszerezni x = 2.
5. lépés Keresse meg egy másik változó értékét
Megtalálta az egyik változó értékét, de mi a helyzet a másikkal? Csatlakoztassa válaszát az egyik egyenlethez, hogy megtalálja a fennmaradó változó értékét. Mint például:
- Ismert x = 2, és a feladat egyik egyenlete az 3x - y = 3.
- Cserélje le az x változót 2 -re: 3 (2) - y = 3.
- Keresse meg y értékét az egyenletben: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, így 6 = 3 + y
- 3 = y
6. lépés. Tudja, mit kell tennie, ha a két változó megszünteti egymást
Néha két egyenlet összekapcsolása olyan egyenletet eredményez, amelynek nincs értelme, vagy nem segít megoldani a problémát. Tekintse át munkáját, és ha biztos abban, hogy semmi rosszat nem tett, írja le az alábbi két válasz egyikét:
- Ha a kombinált egyenletnek nincs változója, és nem igaz (például 2 = 7), akkor ez a probléma nincs válasz. Ez a válasz mindkét egyenletre érvényes. (Ha ezt ábrázoljuk, ez a két egyenlet párhuzamos, és soha nem találkozik.)
- Ha a kombinált egyenletnek nincs változója és Helyes, (pl. 0 = 0), ami azt jelenti, hogy a kérdésnek van korlátlan válaszok. Ez a két egyenlet egymással azonos. (Ábrázolva ez a két egyenlet ugyanaz az egyenes.)
3. módszer 3 -ból: Rajzoljon egyenletgráfot
1. lépés Ezt a módszert csak akkor hajtsa végre, ha erre utasítást kap
Ha nem számítógépet vagy grafikus számológépet használ, ez a módszer csak hozzávetőleges válaszokat adhat. A tanár vagy a tankönyv azt mondhatja, hogy használja ezt a módszert, hogy megszokja, hogy egyenleteket vonalként rajzoljon. Ez a módszer használható a fenti módszerek egyikére adott válasz ellenőrzésére is.
A fő ötlet az, hogy le kell írnia a két egyenletet, és meg kell találnia a metszéspontjukat. Az x és y értéke ezen a metszésponton a válasz a problémára
2. lépés. Keresse meg mindkét egyenlet y-értékeit
Ne egyesítse a két egyenletet, és változtassa meg mindegyiket, hogy a formátum "y = _x + _" legyen. Mint például:
- Az első egyenleted az 2x + y = 5. Váltani y = -2x + 5.
- Az első egyenleted az - 3x + 6y = 0. Váltani 6y = 3x + 0, és leegyszerűsítve y = x + 0.
- Ha a két egyenlet pontosan ugyanaz, a teljes egyenes a két egyenlet "metszéspontja". Ír korlátlan válaszok válaszként.
3. lépés. Rajzolja le a koordináta -tengelyeket
Rajzoljon függőleges „y tengely” vonalat és vízszintes „x tengely” vonalat a grafikonpapírra. A két tengely metszéspontjától (0, 0) kezdve írja fel az 1, 2, 3, 4 stb. Számcímkéket egymás után felfelé az y tengelyen, és jobbra mutatva az x tengelyen. Ezt követően írja le a -1, -2 stb. Számcímkéket egymás után lefelé az y tengelyen, balra pedig az x tengelyen.
- Ha nincs grafikonpapírja, vonalzóval győződjön meg arról, hogy az egyes számok közötti távolság pontosan azonos.
- Ha nagy számokat vagy tizedesjegyeket használ, javasoljuk a diagram méretezését (pl. 10, 20, 30 vagy 0, 1, 0, 2, 0, 3 az 1, 2, 3 helyett).
4. lépés. Rajzolja fel az egyenletek y-metszéspontját
Ha az egyenlet a formában van y = _x + _, a gráf rajzolását úgy kezdheti el, hogy megadja azt a pontot, ahol az egyenletvonal metszi az y tengelyt. Y értéke mindig megegyezik az egyenlet utolsó számával.
-
Folytatva az előző példát, az első sor (y = -2x + 5) metszi az y tengelyt
5. lépés.. második sor (y = x + 0) metszi az y tengelyt 0. (Ezeket a pontokat a grafikonon (0, 5) és (0, 0) formában írjuk fel.)
- Ha lehetséges, rajzolja meg az első és a második sort különböző színű tollal vagy ceruzával.
Lépés 5. Használja a lejtőt a vonal folytatásához
Egyenletformátumban y = _x + _, az x előtti szám jelzi a vonal „lejtőszintjét”. Minden alkalommal, amikor x eggyel növekszik, y értéke nő a meredekség szintjeinek számával. Ezen információk alapján keresse meg a grafikon minden egyes vonalának pontjait, ha x = 1. (x = 1 -et is beírhat minden egyenletbe, és megtalálhatja y értékét.)
- Folytatva az előző példát, a sort y = -2x + 5 lejtése van - 2. Az x = 1 pontban a vonal mozog le- 2 -vel az x = 0. ponttól. Rajzoljon egy vonalat (0, 5) az (1, 3) -al.
- Vonal y = x + 0 lejtése van ½. X = 1 esetén a vonal mozog lovagol x = 0 pontból. Rajzoljon egy vonalat (0, 0) és (1,).
- Ha két vonalnak ugyanaz a meredeksége, a kettő soha nem metszi egymást. Így erre az egyenletrendszerre nincs válasz. Ír nincs válasz válaszként.
6. lépés: Folytassa a vonalak összekapcsolását, amíg a két vonal metszi egymást
Hagyja abba a munkát, és nézze meg a grafikonját. ha a két vonal keresztezte egymást, folytassa a következő lépéssel. Ha nem, hozzon döntést két sorának helyzete alapján:
- Ha a két vonal közeledik egymáshoz, folytassa a csíkok pontjainak összekapcsolását.
- Ha a két vonal eltávolodik egymástól, menjen vissza, és kösse össze a pontokat az ellenkező irányba, kezdve x = 1 -től.
- Ha a két vonal nagyon távol van egymástól, próbálja meg átugrani és összekötni a távolabbi pontokat, például x = 10.
7. lépés. Keresse meg a választ a metszéspontban
Miután a két vonal metszi egymást, az x és y értéke ezen a ponton a válasz a problémára. Ha szerencséd van, a válasz egész szám lesz. Példánkban például a két egyenes metszi egymást a pontban (2, 1) szóval a válasz az x = 2 és y = 1. Néhány egyenletrendszerben az egyenes metszéspontja két egész szám között van, és ha a grafikon nem túl pontos, akkor nehéz meghatározni, hogy az x és y értékek hol vannak a metszéspontban. Ha megengedett, írhatja válaszként, hogy „x 1 és 2 között van”, vagy használhatja a helyettesítési vagy kiküszöbölési módszert.
Tippek
- Ellenőrizheti munkáját, ha a válaszokat az eredeti egyenletbe illeszti. Ha az egyenlet igaznak bizonyul (pl. 3 = 3), az azt jelenti, hogy a válasz helyes.
- Az eliminációs módszer használatakor néha meg kell szorozni az egyenletet negatív számmal, hogy a változók ki tudják zárni egymást.
