A polinom tartalmaz egy (x) változót, amelynek hatványa, fok néven ismert, és számos kifejezést és/vagy állandót tartalmaz. Polinom faktorizálása azt jelenti, hogy az egyenletet egyszerűbb, többszörözhető egyenletekre bontjuk. Ez a készség az Algebra 1 -es és újabb verzióiban található, és nehéz lehet felfogni, ha matematikai készségei nem ezen a szinten vannak.
Lépés
Rajt
1. lépés. Állítsa be az egyenletet
A másodfokú egyenlet szabványos formátuma:
fejsze2 + bx + c = 0
Kezdje azzal, hogy az egyenletben szereplő kifejezéseket a legmagasabbtól a legalacsonyabb teljesítményig rendezi, akárcsak ebben a szabványos formátumban. Például:
6 + 6x2 + 13x = 0
Átrendezzük ezt az egyenletet, hogy könnyebben lehessen vele dolgozni a kifejezések áthelyezésével:
6x2 + 13x + 6 = 0
2. lépés. Keresse meg az űrlaptényezőt az alábbi módszerek egyikével
A polinom faktorálása két egyszerűbb egyenletet eredményez, amelyeket megszorozva megkaphatjuk az eredeti polinomot:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Ebben a példában (2x + 3) és (3x + 2) az eredeti egyenlet, 6x tényezői2 +13x+6.
3. lépés: Ellenőrizze munkáját
Szorozza meg a rendelkezésre álló tényezőket. Ezután egyesítse a hasonló kifejezéseket, és kész. Kezdeni valamivel:
(2x + 3) (3x + 2)
Próbáljuk meg megszorozni a kifejezéseket a PLDT használatával (először - kívül - belül - utoljára), így:
6x2 + 4x + 9x + 6
Innen 4x és 9x összeadhatjuk, mert ezek olyan kifejezések. Tudjuk, hogy tényezőink helyesek, mert megkapjuk az eredeti egyenletet:
6x2 + 13x + 6
1. módszer a 6 -ból: Próba és hiba
Ha meglehetősen egyszerű polinomja van, akkor lehet, hogy önmagában megtalálja a tényezőket, ha csak megnézi őket. Például a gyakorlat után sok matematikus rájön, hogy a 4x egyenlet2 A + 4x + 1 tényezője (2x + 1) és (2x + 1), ha gyakran nézi. (Ez persze nem lesz egyszerű a bonyolultabb polinomok esetében). Ebben a példában használjunk egy ritkábban használt egyenletet:
3x2 + 2x - 8
1. lépés. Írjon egy listát az a és a c kifejezések tényezőiről
A tengelyegyenlet formátumának használata2 + bx + c = 0, azonosítsa az a és c kifejezéseket, és írja le azokat a tényezőket, amelyekkel mindkét kifejezés rendelkezik. 3x -ra2 + 2x - 8, jelentése:
a = 3, és számos tényezővel rendelkezik: 1 * 3
c = -8, és négy tényezőcsoportja van: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 és -1 * 8.
2. lépés. Írjon le két zárójel -sorozatot üres helyekkel
A létrehozott üres helyeket minden egyenlethez konstansokkal kell kitöltenie:
(x) (x)
Lépés 3. Töltse ki az x előtti üres helyeket az a érték lehetséges tényezőpárjaival
Példánkban az a kifejezésre 3x2, csak egy lehetőség van a példánkra:
(3x) (1x)
Lépés 4. Töltse ki az x utáni két üres mezőt a konstans tényezőpárjaival
Tegyük fel, hogy a 8 -at és az 1 -et választjuk. Írja be őket:
(3x
8. lépés.)(
1. lépés
5. lépés Határozza meg a jelet (plusz vagy mínusz) az x változó és a szám között
Az eredeti egyenlet jeleitől függően előfordulhat, hogy lehetőség van jelek keresésére konstansokhoz. Tegyük fel, hogy a két tényezőt h és k konstansnak nevezzük két tényezőnként:
Ha fejsze2 + bx + c, majd (x + h) (x + k)
Ha fejsze2 - bx - c vagy ax2 + bx - c majd (x - h) (x + k)
Ha fejsze2 - bx + c, majd (x - h) (x - k)
Példánkban 3x2 + 2x - 8, a jelek a következők: (x - h) (x + k), két tényezőt adva:
(3x + 8) és (x - 1)
6. lépés: Tesztelje választásait az első-utolsó-szorzás (PLDT) segítségével
Az első gyorsteszt az, hogy megnézzük, hogy a középső tagnak van -e legalább megfelelő értéke. Ha nem, akkor lehet, hogy rossz c tényezőt választott. Teszteljük válaszunkat:
(3x + 8) (x - 1)
Szorzással kapjuk:
3x2 - 3x + 8x - 8
Ezt az egyenletet a (-3x) és (8x) kifejezések hozzáadásával egyszerűsítjük:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Most már tudjuk, hogy rossz tényezőket kellett használnunk:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
7. lépés Ha szükséges, módosítsa a választást
Példánkban próbáljuk ki a 2 -t és a 4 -et az 1 és 8 helyett:
(3x + 2) (x - 4)
Most c kifejezésünk -8, de külső/belső termékünk (3x * -4) és (2 * x) -12x és 2x, amelyek együttesen nem adják meg a helyes b +2x tagot.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
8. lépés Fordítsa meg a sorrendet, ha szükséges
Próbáljuk meg kicserélni a 2 -t és a 4 -et:
(3x + 4) (x - 2)
Most a c kifejezésünk (4 * 2 = 8) helyes, de a külső/belső szorzat -6x és 4x. Ha egyesítjük őket:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Közel vagyunk a keresett 2x -hez, de a jel rossz.
9. lépés: Szükség esetén ellenőrizze a címkéket
Ugyanazt a sorrendet fogjuk használni, de cseréljük ki a mínuszjelet tartalmazó egyenleteket:
(3x - 4) (x + 2)
Most a c kifejezés nem jelent problémát, és a jelenlegi külső/belső termék (6x) és (-4x). Mivel:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Most használhatjuk a pozitív 2x -t az eredeti feladatból. Ezeknek a megfelelő tényezőknek kell lenniük.
2. módszer a 6 -ból: Bomlás
Ez a módszer azonosítja az a és c kifejezések összes lehetséges tényezőjét, és ezek segítségével keresi meg a megfelelő tényezőket. Ha a számok túl nagyok, vagy a találgatás időigényesnek tűnik, használja ezt a módszert. Vegyünk egy példát:
6x2 + 13x + 6
1. lépés. Szorozza meg az a kifejezést c kifejezéssel
Ebben a példában a a 6 és c szintén 6.
6 * 6 = 36
2. lépés Szerezze meg a b kifejezést faktorálással és teszteléssel
Két számot keresünk, amelyek az általunk azonosított a * c termék tényezői, és összeadódnak a b (13) kifejezéssel is.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
3. Lépés. Cserélje ki azt a két számot, amelyeket a b kifejezés hozzáadása eredményeként kap az egyenletébe
Használjuk a k és a h értékeket a két szám, 4 és 9 ábrázolására:
fejsze2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
4. lépés. A polinomot csoportosítsa
Rendezze el az egyenleteket úgy, hogy az első és a második tag közül a legnagyobb közös tényezőt vegye fel. A tényezők csoportjának azonosnak kell lennie. Add hozzá a legnagyobb közös tényezőt, és tedd zárójelbe a faktorcsoport mellé; az eredmény a két tényező:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
3. módszer a 6 -ból: Triple Play
A bontási módszerhez hasonlóan a triple play módszer az a és c kifejezések megszorzásának és a b érték felhasználásának lehetséges tényezőit vizsgálja. Próbálja meg használni ezt a példa egyenletet:
8x2 + 10x + 2
1. lépés. Szorozza meg az a kifejezést c kifejezéssel
Az elemzési módszerhez hasonlóan ez is segít azonosítani a jelölteket a b kifejezésre. Ebben a példában a 8, c 2.
8 * 2 = 16
2. lépés. Keressen két számot, amelyek számokkal megszorozva ezt a számot adják meg, a b összegű teljes összeggel
Ez a lépés megegyezik az elemzéssel - teszteljük és elvetjük az állandó jelöltjeit. Az a és c kifejezések szorzata 16, a c pedig 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Lépés 3. Vegye ki ezt a két számot, és tesztelje őket a triple play képletbe való bedugásával
Vegyük az előző lépésből származó két számunkat - nevezzük őket h -nak és k -nek -, és csatlakoztassuk őket az egyenlethez:
((ax + h) (ax + k))/ a
Kapunk:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
4. lépés. Figyelje meg, hogy a számlálóban lévő két kifejezés bármelyike osztható -e a -val
Ebben a példában láttuk, hogy (8x + 8) vagy (8x + 2) osztható -e 8 -cal. (8x + 8) osztható 8 -cal, ezért ezt a kifejezést osztjuk a -val, és hagyjuk a többi tényezőt.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
A zárójelben lévő kifejezés itt az, ami maradt, miután elosztottuk az a kifejezéssel.
5. lépés. Vegyük az egyik vagy mindkét kifejezés legnagyobb közös tényezőjét (GCF), ha van ilyen
Ebben a példában a második tag GCF értéke 2, mert 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombinálja ezt az eredményt az előző lépésben kapott kifejezéssel. Ezek a tényezők az egyenletében.
2 (x + 1) (4x + 1)
4. módszer a 6 -ból: Négyzetgyök különbsége
A polinomok bizonyos együtthatói lehetnek „négyzetek”, vagy két szám szorzatai. Ezen négyzetek azonosítása lehetővé teszi több polinom gyorsabb figyelembevételét. Próbálja ki ezt az egyenletet:
27x2 - 12 = 0
1. lépés Ha lehetséges, vegye ki a legnagyobb közös tényezőt
Ebben az esetben láthatjuk, hogy a 27 és a 12 osztható 3 -mal, így kapjuk:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
2. lépés. Határozza meg, hogy egyenletének együtthatói négyzetszámok -e
Ennek a módszernek a használatához képesnek kell lennie mindkét kifejezés négyzetgyökére. (Vegye figyelembe, hogy figyelmen kívül hagyjuk a negatív előjelet - mivel ezek a számok négyzetek, két pozitív vagy negatív szám szorzata lehet)
9x2 = 3x * 3x és 4 = 2 * 2
3. lépés. A kapott négyzetgyök segítségével írja le a tényezőket
Az a és c értékeket a fenti lépésből vesszük - a = 9 és c = 4, majd keressük meg a négyzetgyököt - a = 3 és c = 2. Az eredmény a tényezőegyenlet együtthatója:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
5. módszer a 6 -ból: Másodfokú képlet
Ha minden más nem sikerül, és az egyenletet nem lehet egészben figyelembe venni, akkor használja a másodfokú képletet. Próbálja ki ezt a példát:
x2 + 4x + 1 = 0
1. lépés. Írja be a szükséges értékeket a másodfokú képletbe:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Megkapjuk az egyenletet:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
2. lépés. Keresse meg x értékét
Két értéket kap. Amint fentebb látható, két választ kapunk:
x = -2 + (3) vagy x = -2 -(3)
3. lépés. Használja az x-értékét a tényezők megkereséséhez
Dugja be a kapott x értékeket a két polinom egyenletbe konstansként. Az eredmény a te tényezőid. Ha h és k válaszainkat nevezzük, akkor a következő két tényezőt írjuk le:
(x - h) (x - k)
Ebben a példában a végső válaszunk a következő:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
6. módszer a 6 -ból: A számológép használata
Ha engedélyezi a számológép használatát, a grafikus számológép jelentősen megkönnyíti a faktorálási folyamatot, különösen a szabványos teszteknél. Ezek az utasítások a TI grafikus számológépre vonatkoznak. Használunk egy példa egyenletet:
y = x2 x 2
1. lépés. Írja be egyenletét a számológépbe
Az egyenlet faktorálását fogja használni, amely [Y =] van írva a képernyőn.
2. lépés. Grafikálja fel egyenletét a számológép segítségével
Miután megadta egyenletét, nyomja meg a [GRAPH] gombot - sima görbét fog látni, amely az egyenletét képviseli (és az alak görbe, mert polinomokat használunk).
3. lépés. Keresse meg azt a helyet, ahol a görbe metszi az x tengelyt
Mivel a polinomiális egyenleteket általában ax -ként írják2 + bx + c = 0, ez a metszéspont az x második értéke, amely miatt az egyenlet nulla:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Ha ránézésre nem tudja azonosítani, hogy a grafikon hol metszi az x tengelyt, nyomja meg a [2.], majd a [TRACE] gombot. Nyomja meg a [2] gombot, vagy válassza a nullát. Mozgassa a kurzort a metszéspont balra, és nyomja meg az [ENTER] gombot. Mozgassa a kurzort a metszéspont jobbra, és nyomja meg az [ENTER] gombot. Vigye a kurzort a kereszteződéshez a lehető legközelebb, és nyomja meg az [ENTER] gombot. A számológép megtalálja az x értékét. Tegye ezt a többi kereszteződésnél is
4. lépés Csatlakoztassa az előző lépésből kapott x értéket a két faktoriális egyenlethez
Ha mindkét x értékünket elneveznénk h és k, akkor a következő egyenletek lennének:
(x - h) (x - k) = 0
Tehát két tényezőnk a következő:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Tippek
- Ha van TI-84 számológépe (grafikonja), van egy SOLVER nevű program, amely megoldja a másodfokú egyenleteket. Ez a program bármilyen fokú polinomokat old meg.
- Ha egy kifejezést nem írnak, az együttható 0. Hasznos, ha átírja az egyenletet, ha ez a helyzet, például: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Ha a másodfokú képlet segítségével számításba vette a polinomját, és a gyökereire kapta a választ, akkor érdemes az x értékét töredékké alakítani, hogy ellenőrizze.
- Ha egy kifejezésnek nincs írott együtthatója, akkor az együttható 1, például: x2 = 1x2.
- Elegendő gyakorlás után végül képes lesz polinomokat számolni a fejében. Amíg nem tudja megtenni, feltétlenül írja le a használati útmutatót.
