6 módszer a másodfokú polinomok (négyzetegyenletek) faktorozására

2025 Szerző: Jason Gerald | [email protected]. Utoljára módosítva: 2025-01-23 12:20

A polinom tartalmaz egy (x) változót, amelynek hatványa, fok néven ismert, és számos kifejezést és/vagy állandót tartalmaz. Polinom faktorizálása azt jelenti, hogy az egyenletet egyszerűbb, többszörözhető egyenletekre bontjuk. Ez a készség az Algebra 1 -es és újabb verzióiban található, és nehéz lehet felfogni, ha matematikai készségei nem ezen a szinten vannak.

Lépés

Rajt

1. lépés. Állítsa be az egyenletet

A másodfokú egyenlet szabványos formátuma:

fejsze² + bx + c = 0

Kezdje azzal, hogy az egyenletben szereplő kifejezéseket a legmagasabbtól a legalacsonyabb teljesítményig rendezi, akárcsak ebben a szabványos formátumban. Például:

6 + 6x² + 13x = 0

Átrendezzük ezt az egyenletet, hogy könnyebben lehessen vele dolgozni a kifejezések áthelyezésével:

6x² + 13x + 6 = 0

2. lépés. Keresse meg az űrlaptényezőt az alábbi módszerek egyikével

A polinom faktorálása két egyszerűbb egyenletet eredményez, amelyeket megszorozva megkaphatjuk az eredeti polinomot:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

Ebben a példában (2x + 3) és (3x + 2) az eredeti egyenlet, 6x tényezői² +13x+6.

3. lépés: Ellenőrizze munkáját

Szorozza meg a rendelkezésre álló tényezőket. Ezután egyesítse a hasonló kifejezéseket, és kész. Kezdeni valamivel:

(2x + 3) (3x + 2)

Próbáljuk meg megszorozni a kifejezéseket a PLDT használatával (először - kívül - belül - utoljára), így:

6x² + 4x + 9x + 6

Innen 4x és 9x összeadhatjuk, mert ezek olyan kifejezések. Tudjuk, hogy tényezőink helyesek, mert megkapjuk az eredeti egyenletet:

6x² + 13x + 6

1. módszer a 6 -ból: Próba és hiba

Ha meglehetősen egyszerű polinomja van, akkor lehet, hogy önmagában megtalálja a tényezőket, ha csak megnézi őket. Például a gyakorlat után sok matematikus rájön, hogy a 4x egyenlet² A + 4x + 1 tényezője (2x + 1) és (2x + 1), ha gyakran nézi. (Ez persze nem lesz egyszerű a bonyolultabb polinomok esetében). Ebben a példában használjunk egy ritkábban használt egyenletet:

3x² + 2x - 8

1. lépés. Írjon egy listát az a és a c kifejezések tényezőiről

A tengelyegyenlet formátumának használata² + bx + c = 0, azonosítsa az a és c kifejezéseket, és írja le azokat a tényezőket, amelyekkel mindkét kifejezés rendelkezik. 3x -ra² + 2x - 8, jelentése:

a = 3, és számos tényezővel rendelkezik: 1 * 3

c = -8, és négy tényezőcsoportja van: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 és -1 * 8.

2. lépés. Írjon le két zárójel -sorozatot üres helyekkel

A létrehozott üres helyeket minden egyenlethez konstansokkal kell kitöltenie:

(x) (x)

Lépés 3. Töltse ki az x előtti üres helyeket az a érték lehetséges tényezőpárjaival

Példánkban az a kifejezésre 3x², csak egy lehetőség van a példánkra:

(3x) (1x)

Lépés 4. Töltse ki az x utáni két üres mezőt a konstans tényezőpárjaival

Tegyük fel, hogy a 8 -at és az 1 -et választjuk. Írja be őket:

(3x

8. lépés.)(

1. lépés

5. lépés Határozza meg a jelet (plusz vagy mínusz) az x változó és a szám között

Az eredeti egyenlet jeleitől függően előfordulhat, hogy lehetőség van jelek keresésére konstansokhoz. Tegyük fel, hogy a két tényezőt h és k konstansnak nevezzük két tényezőnként:

Ha fejsze² + bx + c, majd (x + h) (x + k)

Ha fejsze² - bx - c vagy ax² + bx - c majd (x - h) (x + k)

Ha fejsze² - bx + c, majd (x - h) (x - k)

Példánkban 3x² + 2x - 8, a jelek a következők: (x - h) (x + k), két tényezőt adva:

(3x + 8) és (x - 1)

6. lépés: Tesztelje választásait az első-utolsó-szorzás (PLDT) segítségével

Az első gyorsteszt az, hogy megnézzük, hogy a középső tagnak van -e legalább megfelelő értéke. Ha nem, akkor lehet, hogy rossz c tényezőt választott. Teszteljük válaszunkat:

(3x + 8) (x - 1)

Szorzással kapjuk:

3x² - 3x + 8x - 8

Ezt az egyenletet a (-3x) és (8x) kifejezések hozzáadásával egyszerűsítjük:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

Most már tudjuk, hogy rossz tényezőket kellett használnunk:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

7. lépés Ha szükséges, módosítsa a választást

Példánkban próbáljuk ki a 2 -t és a 4 -et az 1 és 8 helyett:

(3x + 2) (x - 4)

Most c kifejezésünk -8, de külső/belső termékünk (3x * -4) és (2 * x) -12x és 2x, amelyek együttesen nem adják meg a helyes b +2x tagot.

-12x + 2x = 10x

10x 2x

8. lépés Fordítsa meg a sorrendet, ha szükséges

Próbáljuk meg kicserélni a 2 -t és a 4 -et:

(3x + 4) (x - 2)

Most a c kifejezésünk (4 * 2 = 8) helyes, de a külső/belső szorzat -6x és 4x. Ha egyesítjük őket:

-6x + 4x = 2x

2x -2x Közel vagyunk a keresett 2x -hez, de a jel rossz.

9. lépés: Szükség esetén ellenőrizze a címkéket

Ugyanazt a sorrendet fogjuk használni, de cseréljük ki a mínuszjelet tartalmazó egyenleteket:

(3x - 4) (x + 2)

Most a c kifejezés nem jelent problémát, és a jelenlegi külső/belső termék (6x) és (-4x). Mivel:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Most használhatjuk a pozitív 2x -t az eredeti feladatból. Ezeknek a megfelelő tényezőknek kell lenniük.

2. módszer a 6 -ból: Bomlás

Ez a módszer azonosítja az a és c kifejezések összes lehetséges tényezőjét, és ezek segítségével keresi meg a megfelelő tényezőket. Ha a számok túl nagyok, vagy a találgatás időigényesnek tűnik, használja ezt a módszert. Vegyünk egy példát:

6x² + 13x + 6

1. lépés. Szorozza meg az a kifejezést c kifejezéssel

Ebben a példában a a 6 és c szintén 6.

6 * 6 = 36

2. lépés Szerezze meg a b kifejezést faktorálással és teszteléssel

Két számot keresünk, amelyek az általunk azonosított a * c termék tényezői, és összeadódnak a b (13) kifejezéssel is.

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

3. Lépés. Cserélje ki azt a két számot, amelyeket a b kifejezés hozzáadása eredményeként kap az egyenletébe

Használjuk a k és a h értékeket a két szám, 4 és 9 ábrázolására:

fejsze² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

4. lépés. A polinomot csoportosítsa

Rendezze el az egyenleteket úgy, hogy az első és a második tag közül a legnagyobb közös tényezőt vegye fel. A tényezők csoportjának azonosnak kell lennie. Add hozzá a legnagyobb közös tényezőt, és tedd zárójelbe a faktorcsoport mellé; az eredmény a két tényező:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

3. módszer a 6 -ból: Triple Play

A bontási módszerhez hasonlóan a triple play módszer az a és c kifejezések megszorzásának és a b érték felhasználásának lehetséges tényezőit vizsgálja. Próbálja meg használni ezt a példa egyenletet:

8x² + 10x + 2

1. lépés. Szorozza meg az a kifejezést c kifejezéssel

Az elemzési módszerhez hasonlóan ez is segít azonosítani a jelölteket a b kifejezésre. Ebben a példában a 8, c 2.

8 * 2 = 16

2. lépés. Keressen két számot, amelyek számokkal megszorozva ezt a számot adják meg, a b összegű teljes összeggel

Ez a lépés megegyezik az elemzéssel - teszteljük és elvetjük az állandó jelöltjeit. Az a és c kifejezések szorzata 16, a c pedig 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Lépés 3. Vegye ki ezt a két számot, és tesztelje őket a triple play képletbe való bedugásával

Vegyük az előző lépésből származó két számunkat - nevezzük őket h -nak és k -nek -, és csatlakoztassuk őket az egyenlethez:

((ax + h) (ax + k))/ a

Kapunk:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

4. lépés. Figyelje meg, hogy a számlálóban lévő két kifejezés bármelyike osztható -e a -val

Ebben a példában láttuk, hogy (8x + 8) vagy (8x + 2) osztható -e 8 -cal. (8x + 8) osztható 8 -cal, ezért ezt a kifejezést osztjuk a -val, és hagyjuk a többi tényezőt.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

A zárójelben lévő kifejezés itt az, ami maradt, miután elosztottuk az a kifejezéssel.

5. lépés. Vegyük az egyik vagy mindkét kifejezés legnagyobb közös tényezőjét (GCF), ha van ilyen

Ebben a példában a második tag GCF értéke 2, mert 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombinálja ezt az eredményt az előző lépésben kapott kifejezéssel. Ezek a tényezők az egyenletében.

2 (x + 1) (4x + 1)

4. módszer a 6 -ból: Négyzetgyök különbsége

A polinomok bizonyos együtthatói lehetnek „négyzetek”, vagy két szám szorzatai. Ezen négyzetek azonosítása lehetővé teszi több polinom gyorsabb figyelembevételét. Próbálja ki ezt az egyenletet:

27x² - 12 = 0

1. lépés Ha lehetséges, vegye ki a legnagyobb közös tényezőt

Ebben az esetben láthatjuk, hogy a 27 és a 12 osztható 3 -mal, így kapjuk:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

2. lépés. Határozza meg, hogy egyenletének együtthatói négyzetszámok -e

Ennek a módszernek a használatához képesnek kell lennie mindkét kifejezés négyzetgyökére. (Vegye figyelembe, hogy figyelmen kívül hagyjuk a negatív előjelet - mivel ezek a számok négyzetek, két pozitív vagy negatív szám szorzata lehet)

9x² = 3x * 3x és 4 = 2 * 2

3. lépés. A kapott négyzetgyök segítségével írja le a tényezőket

Az a és c értékeket a fenti lépésből vesszük - a = 9 és c = 4, majd keressük meg a négyzetgyököt - a = 3 és c = 2. Az eredmény a tényezőegyenlet együtthatója:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

5. módszer a 6 -ból: Másodfokú képlet

Ha minden más nem sikerül, és az egyenletet nem lehet egészben figyelembe venni, akkor használja a másodfokú képletet. Próbálja ki ezt a példát:

x² + 4x + 1 = 0

1. lépés. Írja be a szükséges értékeket a másodfokú képletbe:

x = -b ± (b² - 4ac)

2a

Megkapjuk az egyenletet:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

2. lépés. Keresse meg x értékét

Két értéket kap. Amint fentebb látható, két választ kapunk:

x = -2 + (3) vagy x = -2 -(3)

3. lépés. Használja az x-értékét a tényezők megkereséséhez

Dugja be a kapott x értékeket a két polinom egyenletbe konstansként. Az eredmény a te tényezőid. Ha h és k válaszainkat nevezzük, akkor a következő két tényezőt írjuk le:

(x - h) (x - k)

Ebben a példában a végső válaszunk a következő:

(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))

6. módszer a 6 -ból: A számológép használata

Ha engedélyezi a számológép használatát, a grafikus számológép jelentősen megkönnyíti a faktorálási folyamatot, különösen a szabványos teszteknél. Ezek az utasítások a TI grafikus számológépre vonatkoznak. Használunk egy példa egyenletet:

y = x² x 2

1. lépés. Írja be egyenletét a számológépbe

Az egyenlet faktorálását fogja használni, amely [Y =] van írva a képernyőn.

2. lépés. Grafikálja fel egyenletét a számológép segítségével

Miután megadta egyenletét, nyomja meg a [GRAPH] gombot - sima görbét fog látni, amely az egyenletét képviseli (és az alak görbe, mert polinomokat használunk).

3. lépés. Keresse meg azt a helyet, ahol a görbe metszi az x tengelyt

Mivel a polinomiális egyenleteket általában ax -ként írják² + bx + c = 0, ez a metszéspont az x második értéke, amely miatt az egyenlet nulla:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Ha ránézésre nem tudja azonosítani, hogy a grafikon hol metszi az x tengelyt, nyomja meg a [2.], majd a [TRACE] gombot. Nyomja meg a [2] gombot, vagy válassza a nullát. Mozgassa a kurzort a metszéspont balra, és nyomja meg az [ENTER] gombot. Mozgassa a kurzort a metszéspont jobbra, és nyomja meg az [ENTER] gombot. Vigye a kurzort a kereszteződéshez a lehető legközelebb, és nyomja meg az [ENTER] gombot. A számológép megtalálja az x értékét. Tegye ezt a többi kereszteződésnél is

4. lépés Csatlakoztassa az előző lépésből kapott x értéket a két faktoriális egyenlethez

Ha mindkét x értékünket elneveznénk h és k, akkor a következő egyenletek lennének:

(x - h) (x - k) = 0

Tehát két tényezőnk a következő:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tippek

• Ha van TI-84 számológépe (grafikonja), van egy SOLVER nevű program, amely megoldja a másodfokú egyenleteket. Ez a program bármilyen fokú polinomokat old meg.
• Ha egy kifejezést nem írnak, az együttható 0. Hasznos, ha átírja az egyenletet, ha ez a helyzet, például: x² + 6 = x² +0x+6.
• Ha a másodfokú képlet segítségével számításba vette a polinomját, és a gyökereire kapta a választ, akkor érdemes az x értékét töredékké alakítani, hogy ellenőrizze.
• Ha egy kifejezésnek nincs írott együtthatója, akkor az együttható 1, például: x² = 1x².
• Elegendő gyakorlás után végül képes lesz polinomokat számolni a fejében. Amíg nem tudja megtenni, feltétlenül írja le a használati útmutatót.