A másodfokú egyenlet olyan egyenlet, amelynek legmagasabb foka 2 (négyzet). A másodfokú egyenlet megoldásának három fő módja van: a másodfokú egyenlet faktorálása, ha lehetséges, másodfokú képlet használatával, vagy a négyzet kitöltése. Ha el szeretné sajátítani ezt a három módszert, kövesse az alábbi lépéseket.
Lépés
Módszer 1 /3: Faktoring egyenletek
1. lépés Kombinálja az összes egyenlő változót, és helyezze őket az egyenlet egyik oldalára
Az egyenlet faktorálásának első lépése az összes egyenlő változó áthelyezése az egyenlet egyik oldalára x -el2pozitív. A változók kombinálásához vegyen össze vagy vonjon ki minden változót x2, x és konstansok (egész számok), helyezze át őket az egyenlet másik oldalára, hogy semmi ne maradjon a másik oldalon. Ha a másik oldalon nincsenek fennmaradó változók, írjon 0 -t az egyenlőségjel mellé. Ezt a következőképpen teheti meg:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
2. lépés. Számolja ki ezt az egyenletet
Ennek az egyenletnek a faktorozásához az x tényezőt kell használnia2 (3) és az állandó tényezőt (-4), megszorozva és összeadva, hogy illeszkedjen a középen lévő változóhoz, (-11). Ezt a következőképpen teheti meg:
- 3x2 csak egy lehetséges tényezője van: 3x és x, zárójelbe írhatja őket: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Ezután használja az eliminációs folyamatot a 4 -es faktor figyelembevételével, hogy megtalálja a -11x kitermelésű terméket. Használhatja a 4 és 1, vagy a 2 és 2 szorzatát, mert mindkettőt megszorozva 4 -et kap. De ne feledje, hogy az egyik számnak negatívnak kell lennie, mert az eredmény -4.
- Próbálja ki (3x + 1) (x - 4). Ha megszorozzuk, az eredmény - 3x2 -12x +x -4. Ha kombinálja a -12 x és x változókat, az eredmény -11x, ami a középérték. Csak egy másodfokú egyenletet vettél figyelembe.
- Például próbáljuk meg faktorálni a másik terméket: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Ha kombinálja a változókat, az eredmény 3x2 -4x -4. Annak ellenére, hogy a -2 és 2 faktorok szorzása -4, az átlag nem ugyanaz, mert -4x helyett -11x értéket szeretne kapni.
3. lépés. Tegyük fel, hogy minden zárójel nulla egy másik egyenletben
Így 2 x értéket találhat, amelyek nullát eredményeznek. Figyelembe vette az egyenletet, így csak annyit kell tennie, hogy minden zárójelben a számítás nulla. Így 3x + 1 = 0 és x - 4 = 0 írható.
4. lépés. Oldja meg minden egyenletet külön
Egy másodfokú egyenletben 2 érték van x -re. Oldja meg minden egyenletet külön -külön a változók mozgatásával és írjon le 2 választ x -re, például:
-
Oldja meg 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. kivonással
- 3x/3 = -1/3….. osztással
- x = -1/3….. egyszerűsítéssel
-
Oldja meg x - 4 = 0
x = 4….. kivonással
- x = (-1/3, 4)….. azáltal, hogy több lehetséges választ elkülönítünk, azaz x = -1/3 vagy x = 4 mindkettő helyes lehet.
5. lépés. Ellenőrizze x = -1/3 in (3x + 1) (x -4) = 0:
Így kapjuk (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. (-1 + 1) helyettesítésével (-4 1/3)? =? 0….. a (0) egyszerűsítésével (-4 1/3) = 0….. megszorozva Tehát, 0 = 0….. Igen, x = -1/3 igaz.
6. lépés. Ellenőrizze x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Így kapjuk (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. a (13) (4 - 4) helyettesítésével? =? 0….. a (13) (0) = 0….. leegyszerűsítésével Tehát, 0 = 0….. Igen, x = 4 is igaz.
Tehát külön ellenőrzés után mindkét válasz helyes és használható egyenletekben
2. módszer a 3 -ból: A másodfokú képlet használata
1. lépés Kombinálja az összes egyenlő változót, és helyezze őket az egyenlet egyik oldalára
Vigye az összes változót az egyenlet egyik oldalára az x változó értékével2 pozitív. Írja fel a változókat egymás utáni kitevőkkel, hogy x2 először írni, majd változókat és állandókat. Ezt a következőképpen teheti meg:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
2. lépés. Írja le a másodfokú képletet
A másodfokú képlet a következő: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
3. lépés Határozza meg a, b és c értékeit a másodfokú egyenletből
Az a változó az x együttható2, b az x változó együtthatója, és c egy állandó. A 3x egyenlethez2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 és c = -8. Írd le mind a hármat.
4. lépés Helyettesítse az a, b és c értékeket az egyenletben
Ha ismeri a három változóértéket, csatlakoztassa őket az alábbi egyenlethez:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
5. lépés Végezze el a számításokat
Miután megadta a számokat, végezzen néhány matematikát a pozitív vagy negatív előjel egyszerűsítése érdekében, szorozza meg vagy négyzetezze be a fennmaradó változókat. Ezt a következőképpen teheti meg:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
6. lépés: Egyszerűsítse a négyzetgyököt
Ha a négyzetgyök alatti szám tökéletes négyzet, akkor egész számot kapunk. Ha a szám nem tökéletes négyzet, egyszerűsítse a legegyszerűbb gyökért. Ha a szám negatív, és úgy gondolja, hogy negatívnak kell lennie, akkor a gyökérték bonyolult lesz. Ebben a példában (121) = 11. Írhat x = (5 +/- 11)/6.
7. lépés: Keresse meg a pozitív és negatív válaszokat
Miután eltávolította a négyzetgyök jelét, felfelé haladva megtalálhatja az x pozitív és negatív eredményét. Most, hogy (5 +/- 11)/6 van, 2 választ írhat:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
8. lépés Végezze el a pozitív és a negatív válaszokat
Végezzen matematikai számításokat:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
9. lépés. Egyszerűsítse
Az egyes válaszok egyszerűsítése érdekében ossza el a legnagyobb számmal, amely mindkét számot el tudja osztani. Oszd meg az első törtet 2 -vel, a másodikat pedig 6 -tal, és megtalálod az x értékét.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
3. módszer a 3 -ból: Töltse ki a négyzetet
1. lépés. Az összes változót helyezze át az egyenlet egyik oldalára
Győződjön meg arról, hogy a vagy változó x2 pozitív. Ezt a következőképpen teheti meg:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
Ebben az egyenletben az a változó 2, a b változó -12 és a c változó -9
2. lépés. Mozgassa a c változót vagy konstansot a másik oldalra
Az állandók numerikus kifejezések változók nélkül. Lépjen az egyenlet jobb oldalára:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
3. lépés. Oszd el mindkét oldalt az a együtthatóval vagy az x változóval2.
Ha x2 nem rendelkezik változóval és az együttható 1, kihagyhatja ezt a lépést. Ebben az esetben az összes változót el kell osztani 2 -vel, így:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
4. lépés. Oszd meg b -t 2 -vel, négyzeteld fel, és add hozzá az eredményt mindkét oldalhoz
A b értéke ebben a példában -6. Ezt a következőképpen teheti meg:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. lépés: Egyszerűsítse mindkét oldalt
Faktorozza a bal oldali változót, hogy megkapja (x-3) (x-3) vagy (x-3)2. Ha hozzáadja az értékeket a jobb oldalhoz, akkor 9/2 + 9 vagy 9/2 + 18/2 lesz, ami 27/2.
6. lépés. Keresse meg mindkét oldal négyzetgyökét
Négyzetgyöke (x-3)2 az (x-3). A 27/2 négyzetgyökét ± √ (27/2) -ként írhatja. Így x - 3 = ± √ (27/2).
7. lépés: Egyszerűsítse a gyökereket, és keresse meg x értékét
A ± √ (27/2) egyszerűsítése érdekében keresse meg a tökéletes négyzetet a 27 és 2 számok között, vagy szorozza ki ezt a számot. A 9 -es tökéletes négyzet megtalálható a 27 -ben, mert 9 x 3 = 27. Ha ki akarunk venni 9 -et a négyzetgyökből, vegyünk ki 9 -et a gyökből, és írjuk a 3 -at, a négyzetgyököt a négyzetgyökre. Hagyja a maradék 3 -at a négyzetgyök alatti tört számlálójában, mivel a 27 nem minden tényezőt dolgoz ki, és írja le a 2 -t. Ezután mozgassa jobbra az egyenlet bal oldalán található 3 konstanst, és írja le a két megoldását x -re:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Tippek
- Mint látható, a gyökérnyomok nem tűnnek el teljesen. Így a számlálóváltozókat nem lehet kombinálni (mert nem egyenlőek). Nincs értelme szétválasztani pozitív vagy negatív értelemben. Azonban oszthatjuk ugyanazzal a tényezővel, de CSAK ha a tényezők mindkét konstansra azonosak ÉS gyökér együttható.
- Ha a négyzetgyök alatti szám nem tökéletes négyzet, akkor az utolsó néhány lépés egy kicsit más. Íme egy példa:
- Ha b páros szám, a képlet a következő lesz: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
