3 módszer a köbös egyenletek megoldására

2024 Szerző: Jason Gerald | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-16 19:34

Amikor először megtalálja a köbös egyenletet (amely ax alakú ³ + bx ² + cx + d = 0), talán úgy gondolja, hogy a problémát nehéz lesz megoldani. De tudd, hogy a köbös egyenletek megoldása valójában évszázadok óta létezik! Ez a megoldás, amelyet Niccolò Tartaglia és Gerolamo Cardano olasz matematikusok fedeztek fel az 1500 -as években, az egyik első képlet, amelyet az ókori Görögországban és Rómában ismertek. A köbös egyenletek megoldása kissé nehézkes lehet, de megfelelő megközelítéssel (és kellő ismeretekkel) még a legnehezebb köbös egyenletek is megoldhatók.

Lépés

1. módszer a 3 -ból: Megoldás másodfokú egyenletek használatával

1. lépés: Ellenőrizze, hogy a köbös egyenletének van -e állandója

Amint fentebb említettük, a köbös egyenlet alakja ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, és d értéke 0 is lehet anélkül, hogy befolyásolná ennek a köbös egyenletnek a formáját; ez alapvetően azt jelenti, hogy a köbös egyenletnek nem kell mindig tartalmaznia a bx értékét ², cx vagy d köbös egyenlet. Ahhoz, hogy elkezdhesse használni ezt a meglehetősen egyszerű módot a köbös egyenletek megoldására, ellenőrizze, hogy köbös egyenletének van -e állandója (vagy d értéke). Ha az egyenletének nincs állandója vagy értéke d -re, akkor másodfokú egyenlettel néhány lépés után megtalálhatja a választ a köbös egyenletre.

Másrészt, ha egyenlete állandó értékű, akkor más megoldásra lesz szüksége. További megközelítésekért tekintse meg az alábbi lépéseket

2. lépés Faktorozza az x értéket a köbös egyenletből

Mivel az egyenletének nincs állandó értéke, minden összetevője x változóval rendelkezik. Ez azt jelenti, hogy ezt az x értéket ki lehet számítani az egyenletből az egyszerűsítés érdekében. Végezze el ezt a lépést, és írja át köbös egyenletét x (ax ² + bx + c).

Tegyük fel például, hogy az eredeti köbös egyenlet itt 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Ha ebből az egyenletből egy x változót faktorálunk, akkor megkapjuk az egyenletet x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Lépés 3. Használjon másodfokú egyenleteket a zárójelben lévő egyenletek megoldásához

Észreveheti, hogy néhány új, zárójelben lévő egyenlete másodfokú egyenlet (ax ² + bx + c). Ez azt jelenti, hogy megtaláljuk azt az értéket, amely ahhoz szükséges, hogy ezt az egyenletet nullával egyenlővé tegyük, ha bedugjuk az a, b és c másodfokú egyenlet képletébe ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). Végezze el ezeket a számításokat, hogy két választ találjon köbös egyenletére.

• Példánkban csatlakoztassa az a, b és c értékeit (3, -2 és 14) a másodfokú egyenlethez az alábbiak szerint:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• 1. válasz:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i}/6

• 2. válasz:

  {2 - 12,8 i}/6

Lépés 4. Használja a nullákat és a másodfokú egyenletre adott válaszát köbös egyenletének válaszaként

A másodfokú egyenleteknek két válaszuk lesz, míg a köbös egyenleteknek három válaszuk lesz. Háromból már két választ tud; amelyet zárójelben az egyenlet "négyzet" részéből kap. Ha köbös egyenletét ilyen "faktorizációval" meg lehet oldani, akkor a harmadik válasz szinte mindig az 0. Biztonságos! Most megoldott egy köbös egyenletet.

Ennek a módszernek az az oka, hogy "minden szám nullával megszorozva nulla". Ha az egyenletét x (ax ² + bx + c) = 0, alapvetően csak két "részre" osztod; az egyik rész az x változó a bal oldalon, a másik rész pedig a zárójelben lévő másodfokú egyenlet. Ha e két rész egyike nulla, akkor az egész egyenlet is nulla lesz. Így a zárójelben lévő másodfokú egyenletre adott két válasz, amely nullává tenné, a köbös egyenletre adott válasz, valamint maga a 0 - ami a bal oldali részt is nullává tenné.

2. módszer a 3 -ból: Egész válaszok keresése egy tényezőlista segítségével

1. lépés. Győződjön meg arról, hogy köbös egyenlete állandó értékű

Míg a fent leírt módszerek meglehetősen könnyen használhatók, mert nem kell új számítási technikát megtanulni a használathoz, ezek nem mindig segítenek a köbös egyenletek megoldásában. Ha köbös egyenlete ax alakú ³ + bx ² + cx + d = 0, ahol a d értéke nem egyenlő nullával, a fenti "faktorizációs" módszer nem működik, ezért ennek a szakasznak az egyik módszerét kell használnia a megoldáshoz.

Tegyük fel például, hogy megvan a 2 x egyenlet ³ + 9 x ² + 13 x = -6. Ebben az esetben ahhoz, hogy az egyenlet jobb oldalán nulla legyen, mindkét oldalhoz 6 -ot kell hozzáadnunk. Ezt követően kapunk egy új 2x egyenletet ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, d = 6 értékkel, tehát nem használhatjuk a "faktorizációs" módszert, mint az előző módszerben.

2. lépés Keresse meg az a és d tényezőit

A köbös egyenlet megoldásához először keresse meg az a tényezőjét (x együtthatója ³) és d (állandó érték az egyenlet végén). Ne feledje, hogy a tényezők olyan számok, amelyeket meg lehet szorozni egymással egy bizonyos szám előállításához. Például, mivel 6 -ot kaphat 6 × 1 és 2 × 3 szorzatával, az 1, 2, 3 és 6 6 -os tényezők.

• Az általunk használt példaproblémában a = 2 és d = 6. A 2 -es tényező az 1 és 2. Míg a 6 -os tényező az 1, 2, 3 és 6.

  

  3. lépés. Oszd meg az a tényezőt a d tényezővel

  Ezután sorolja fel az értékeket, amelyeket úgy kap, hogy elosztja az a tényezőit minden d tényezővel. Ez a számítás általában sok törtértéket és több egész számot eredményez. A köbös egyenlet megoldásához használt egész érték a számításból kapott egész számok egyike.

  Egyenletünkben osszuk el a (1, 2) tényezőértékét d tényezővel (1, 2, 3, 6), és kapjuk meg a következő eredményeket: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 és 2/3. Ezután adjunk hozzá negatív értékeket a listához, és kapjuk: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 és -2/3. A köbös egyenletre adott válasz - amely egész szám - szerepel a listán.

  

  4. lépés: A szintetikus felosztással manuálisan ellenőrizheti a válaszokat

  Miután rendelkezett a fenti értékek listájával, az egész számok kézi megadásával megkeresheti a köbös egyenletére adott egész értékeket, és megkeresheti, hogy melyik érték adja vissza a nullát. Ha azonban nem szeretne időt szánni erre, van egy módja annak, hogy gyorsabban megtegye, mégpedig egy szintetikus osztás nevű számítással. Alapvetően az egész értékét elosztaná az eredeti, a, b, c és d együtthatókkal a köbös egyenletében. Ha a maradék nulla, akkor ez az érték az egyik válasz a köbös egyenletére.

  • A szintetikus felosztás összetett téma - további információkért lásd az alábbi linket. Íme egy példa arra, hogyan lehet megtalálni az egyik választ szintetikus osztású köbös egyenletére:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Mivel a végeredmény 0, így tudjuk, hogy a köbös egyenletünkre adott egész válaszok egyike - 1.

  3. módszer 3 -ból: A diszkrimináns módszer alkalmazása

  

  1. lépés. Írja le az a, b, c és d egyenleteket

  Ahhoz, hogy ily módon megtaláljuk a választ a köbös egyenletre, sok számítást fogunk végezni az egyenletünkben szereplő együtthatókkal. Emiatt érdemes feljegyezni az a, b, c és d értékeket, mielőtt bármelyik értéket elfelejtené.

  Például az x egyenlethez ³ - 3x ² + 3 x -1, írja le a = 1, b = -3, c = 3 és d = -1. Ne felejtse el, hogy ha az x változónak nincs együtthatója, akkor értéke 1.

  

  2. lépés. Számítsa ki a 0 = b értéket ² - 3 légkondicionáló.

  A köbös egyenletekre adott válaszok diszkriminatív megközelítése összetett számításokat igényel, de ha gondosan követi a lépéseket, nagyon hasznos lehet a más módon nehezen megoldható köbös egyenletek megoldásában. Először is keresse meg a 0 értéket, amely az első jelentős érték a szükséges számok közül, és csatlakoztassa a megfelelő értéket a b képlethez ² - 3 légkondicionáló.

  • Az általunk használt példában a következőképpen oldjuk meg:

    b ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  3. lépés. Számítsa ki 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  A következő számottevő érték, az 1, amely hosszabb számítást igényel, de ugyanúgy megtalálható, mint a 0. Csatlakoztassa a megfelelő értéket a 2 képlethez b ³ - 9 abc + 27 a ² d, hogy megkapjuk az 1 értéket.

  • Ebben a példában a következőképpen oldjuk meg:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  4. lépés. Számítsa ki = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Ezután kiszámítjuk a 0 és 1 érték "diszkriminatív" értékét. A diszkrimináns egy szám, amely információt nyújt a polinom gyökéréről (lehet, hogy öntudatlanul megjegyezte a másodfokú megkülönböztető képletet: b ² - 4 légkondicionáló). Köbös egyenlet esetén, ha a diszkrimináns értéke pozitív, akkor az egyenletnek három valós szám válasza van. Ha a megkülönböztető érték nulla, akkor az egyenletnek van egy vagy két valós száma, és néhány válasznak ugyanaz az értéke. Ha az érték negatív, akkor az egyenletnek csak egy valós szám válasza van, mert az egyenlet grafikonja legalább egyszer metszi az x tengelyt.)

  • Ebben a példában, mivel mind 0, mind 1 = 0, a (z) érték megtalálása nagyon egyszerű. Csak a következő módon kell kiszámítanunk:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, tehát egyenletünk 1 vagy 2 választ tartalmaz.

  

  5. lépés Számítsa ki a C = értéket ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Az utolsó érték, amelyet fontos számunkra elérni, a C értéke. Ez az érték lehetővé teszi, hogy megkapjuk köbös egyenletünk mindhárom gyökét. Oldja meg a szokásos módon, az 1 -es és a 0 -as értékeket illessze be a képletbe.

  • Ebben a példában a C értékét kapjuk:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  6. lépés Számítsa ki az egyenlet három gyökét a változójával

  A köbös egyenlet gyökét (válaszát) a képlet határozza meg (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, ahol u = (-1 + (-3))/2 és n egyenlő 1, 2 vagy 3. Dugja be az értékeit a képletbe, hogy megoldja őket-sok számítást kell elvégeznie, de meg kell kapnia mind a három köbös egyenlet válaszát!

  • Ebben a példában megoldhatjuk úgy, hogy megvizsgáljuk a válaszokat, amikor n egyenlő 1, 2 és 3. A számításból kapott válasz a lehetséges válasz a köbös egyenletünkre - minden olyan érték, amelyet bedugunk a köbös egyenletbe, és megadja a ugyanaz az eredmény. 0 -val a helyes válasz. Például, ha az egyik számítási kísérletünkben 1 -es választ kapunk, akkor az 1 -es érték beillesztése az x egyenletbe ³ - 3x ² + 3 x - 1 a végeredmény 0. egyenlő

    1. lépés. ez az egyik válasz a köbös egyenletünkre.