Két tört egyenértékű, ha azonos értékű. A törtek megfelelő formákká alakításának ismerete rendkívül fontos matematikai készség, amely a matematika minden formájához szükséges az alapvető algebratól a haladó számításig. Ez a cikk számos módszert kínál az egyenértékű törtek kiszámítására az alapvető szorzástól és osztástól az egyenértékű törtegyenletek megoldásának összetettebb módjaiig.
Lépés
1. módszer az 5 -ből: Ekvivalens törtek elrendezése
1. lépés Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal
Két különböző, de egyenértékű törtnek definíció szerint van számlálója és nevezője, amelyek többszörösei egymásnak. Más szóval, ha megszorozzuk a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal, akkor egyenértékű törteket kapunk. Bár az új tört számai eltérőek lesznek, a törtek értéke azonos lesz.
- Például, ha vesszük a 4/8 törtet, és megszorozzuk a számlálót és a nevezőt 2 -vel, akkor (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16 lesz. Ez a két tört egyenértékű.
- (4 × 2)/(8 × 2) valójában ugyanaz, mint a 4/8 × 2/2. Ne feledje, hogy amikor két törtet megszorozunk, akkor szorozzunk egyenesen, vagyis a számlálót a számlálóval és a nevezőt a nevezővel.
- Ne feledje, hogy a 2/2 egyenlő 1 -el, ha osztja. Így könnyebb megérteni, hogy a 4/8 és a 8/16 miért egyenértékűek, mert a 4/8 × (2/2) = szorzás 4/8 marad. Ugyanígy, ugyanaz, mint azt mondani, hogy 4/8 = 8/16.
- Bármely adott tört végtelen számú egyenértékű törtet tartalmaz. A számlálót és a nevezőt tetszőleges egész számmal megszorozhatja, függetlenül a méretétől vagy a kicsiktől, hogy egyenértékű törtet kapjon.
2. lépés. Oszd meg a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal
A szorzáshoz hasonlóan az osztás is használható az eredeti törtével egyenértékű új tört megtalálására. Csak ossza el a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal, hogy megkapja az egyenértékű törtet. Ennek a folyamatnak van egy hátránya - a végső törtnek egész számokkal kell rendelkeznie a számlálóban és a nevezőben is, hogy igaz legyen.
Például nézzünk vissza a 4/8 -ra. Ha szorzás helyett a számlálót és a nevezőt is elosztjuk 2 -vel, akkor a (4 2)/(8 2) = 2/4 értéket kapjuk. A 2 és 4 egész számok, tehát ezek az egyenértékű törtek igazak
2. módszer az 5 -ből: Az alapvető szorzás használata az egyenlőség meghatározásához
1. lépés Keresse meg azt a számot, amelyet meg kell szorozni a kisebb nevezővel, hogy megkapjuk a nagyobb nevezőt
A törtekkel kapcsolatos sok probléma magában foglalja annak meghatározását, hogy két tört egyenértékű -e. Ennek a számnak a kiszámításával megkezdheti a tört tagok egyenlőségét az egyenlőség meghatározásához.
- Például használja fel újra a 4/8 és 8/16 törteket. A kisebb nevező 8, és meg kell szoroznunk a számot 2 -vel, hogy megkapjuk a nagyobb nevezőt, ami 16. Tehát a szám ebben az esetben 2.
- Nehezebb számok esetén eloszthatja a nagyobb nevezőt a kisebb nevezővel. Ebben az esetben a 16 -at el kell osztani 8 -mal, ami még mindig 2 -t eredményez.
- A szám nem mindig egész szám. Például, ha a nevezők 2 és 7, akkor a szám 3, 5.
2. lépés Szorozzuk meg a kisebb tagú tört számlálóját és nevezőjét az első lépés számával
A definíció szerint két különböző, de egyenértékű törtnek van számláló és nevező, amelyek többszörösei egymásnak. Más szóval, ha megszorozzuk a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal, akkor egyenértékű törtet kapunk. Bár az új tört számai eltérőek lesznek, ezeknek a törteknek azonos értéke lesz.
Például, ha az első lépés 4/8 törtét használjuk, és megszorozzuk a számlálót és a nevezőt a korábban meghatározott számmal, ami 2, akkor (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Ez az eredmény azt bizonyítja, hogy ez a két tört egyenértékű.
3. módszer az 5 -ből: Az alaposztály használata az egyenlőség meghatározásához
1. lépés. Számolja az egyes törteket tizedes számként
Változó nélküli egyszerű törtek esetén az egyes törteket tizedes számként ábrázolhatja az egyenlőség meghatározásához. Mivel minden tört ténylegesen osztási probléma, ez az egyenlőség meghatározásának legegyszerűbb módja.
- Például használja a korábban használt 4/8 törtet. A 4/8 tört egyenértékű azzal, hogy 4 -et osztunk 8 -mal, ami 4/8 = 0,5. Megoldhatja a másik példát is, amely 8/16 = 0,5. Frakciótól függetlenül a tört egyenértékű ha mindkét szám megegyezik tizedesjegyben.
- Ne feledje, hogy a tizedes kifejezések több számjegyből is állhatnak, mielőtt az egyenlőség nyilvánvaló lenne. Alapesetben 1/3 = 0,333 ismétlődik, míg 3/10 = 0,3. Egynél több számjegyet használva azt látjuk, hogy ez a két tört nem egyenértékű.
Lépés 2. Oszd meg a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal, hogy ekvivalens törtet kapj
Bonyolultabb törtek esetén az osztási módszer további lépéseket igényel. Míg a szorzással oszthatjuk a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal, hogy egyenértékű törtet kapjunk. Ennek a folyamatnak van egy hátránya. A végső tört egész számoknak tartalmaznia kell a számlálót és a nevezőt, hogy igazak legyenek.
Például nézzünk vissza a 4/8 -ra. Ha szorzás helyett elosztjuk a számlálót és a nevezőt 2 -vel, akkor (4 2)/(8 2) = 2/4. A 2 és 4 egész számok, tehát ezek az egyenértékű törtek igazak.
3. lépés: Egyszerűsítse a törteket a legegyszerűbb kifejezésekkel
A legtöbb törtet általában a legegyszerűbb kifejezésekkel írják fel, és a törteket a legegyszerűbb formává alakíthatja, ha elosztja a legnagyobb közös tényezővel (GCF). Ez a lépés ugyanazzal a logikával történik, mint az egyenértékű törtek írása, ugyanazzá a nevezővé konvertálása, de ez a módszer megkísérli az egyes törteket a lehető legkisebbre egyszerűsíteni.
- Ha egy tört a legegyszerűbb formában van, akkor a számlálónak és a nevezőnek a lehető legkisebb értéke van. Mindkettőt nem lehet osztani egész számmal, hogy megkapjuk a kisebb értéket. Ahhoz, hogy a nem legegyszerűbb alakú törtet legegyszerűbb formájává alakítsuk, elosztjuk a számlálót és a nevezőt a legnagyobb közös tényezőjükkel.
-
A számláló és nevező legnagyobb közös tényezője (GCF) a legnagyobb szám, amely osztja őket, hogy egész eredményt kapjon. Tehát a 4/8 példánkban, mert
4. lépés. a legnagyobb szám, amely osztható 4 -gyel és 8 -mal, akkor a legegyszerűbb kifejezések megszerzése érdekében elosztjuk törtünk számlálóját és nevezőjét 4 -gyel. (4 4)/(8 4) = 1/2. Másik példánk, a 8/16 esetében a GCF 8, amely szintén az 1/2 értéket adja vissza, mint a tört legegyszerűbb kifejezését.
4. módszer az 5 -ből: Kereszttermékek használata változók keresésére
1. lépés. Rendezze el a két törtet úgy, hogy egyenlőek legyenek egymással
A keresztszorzást matematikai feladatokra használjuk, ahol tudjuk, hogy a törtek egyenértékűek, de az egyik számot felváltotta egy változó (általában x), amelyet meg kell oldanunk. Ilyen esetekben tudjuk, hogy ezek a törtek ekvivalensek, mert ezek az egyetlen kifejezések az egyenlőségjel másik oldalán, de gyakran a változó megtalálásának módja nem nyilvánvaló. Szerencsére a keresztszorzással az ilyen típusú problémák megoldása egyszerű.
2. lépés Vegyünk két egyenértékű törtet, és szorozzuk meg őket egy "X" alakkal
Más szóval, az egyik tört számlálóját megszorozzuk egy másik tört nevezőjével, és fordítva, majd elrendezzük a két választ, hogy illeszkedjenek egymáshoz, és megoldják.
Vegyük két példánkat, a 4/8 és a 8/16. Egyiknek sincs változója, de bizonyítani tudjuk a koncepciót, mert már tudjuk, hogy egyenértékűek. Keresztszorzással 4/16 = 8 x 8, vagy 64 = 64 kapunk, ami igaz. Ha ez a két szám nem egyenlő, akkor a törtek nem egyenértékűek
3. lépés. Változók hozzáadása
Mivel a keresztszorzás a legegyszerűbb módja az egyenértékű törtek meghatározásának, amikor változókat kell keresni, adjunk hozzá változókat.
-
Például használjuk a 2/x = 10/13 egyenletet. A keresztszorzáshoz szorozzunk 2 -t 13 -mal és 10 -et x -el, majd a válaszainkat állítsuk egyenlővé egymással:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Innentől kezdve a változóra adott válasz megtalálása egyszerű algebrai feladat. x = 26/10 = 2, 6, így a kezdeti ekvivalens tört 2/2, 6 = 10/13.
4. lépés Keresztszorzást használjon többváltozós törtekhez vagy változó kifejezésekhez
Az egyik legjobb dolog a keresztszorzásban az, hogy valójában ugyanúgy működik, akár két egyszerű törttel (mint fent), akár bonyolultabb törtekkel dolgozik. Például, ha mindkét frakciónak vannak változói, akkor ezeket a változókat csak ki kell küszöbölni a megoldási folyamatban. Hasonlóképpen, ha a történek számlálója vagy nevezője változó kifejezéssel rendelkezik (például x + 1), csak "szorozza meg" azt az elosztási tulajdonsággal, és oldja meg a szokásos módon.
-
Például használjuk az ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4) egyenletet. Ebben az esetben, a fentiek szerint, több terméken keresztül oldjuk meg:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, akkor egyszerűsíthetjük a törtet, ha mindkét oldalról 2x kivonunk
- 2 = 2x + 12, akkor a változót úgy izoláljuk, hogy mindkét oldalról kivonjuk a 12 -et
- -10 = 2x, és oszd meg 2 -vel, hogy megtaláld az x -et
- - 5 = x
5. módszer az 5 -ből: Másodfokú képletek használata változók keresésére
1. lépés Keresztbe kell tenni a két törtet
A másodfokú képletet igénylő egyenlőségi problémák esetén továbbra is kereszttermék használatával kezdjük. Mindazonáltal minden olyan kereszttermék, amely egy változó kifejezéseinek megszorzását jelenti egy másik változó feltételeivel, valószínűleg olyan kifejezést eredményez, amelyet algebra segítségével nem lehet könnyen megoldani. Ilyen esetekben előfordulhat, hogy olyan technikákat kell használnia, mint a faktoring és/vagy másodfokú képletek.
-
Nézzük például az ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)) egyenletet. Először keresztsük a szorzót:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
2. lépés Írja fel az egyenletet másodfokú egyenletként
Ebben a részben ezt az egyenletet szeretnénk másodfokú formában írni (ax2 + bx + c = 0), amit úgy hajtunk végre, hogy az egyenletet nullára állítjuk. Ebben az esetben mindkét oldalról kivonunk 12 -et, hogy 2x kapjunk2 - 14 = 0.
Néhány érték egyenlő lehet 0. Annak ellenére, hogy 2x2 - 14 = 0 az egyenletünk legegyszerűbb formája, a valós másodfokú egyenlet 2x2 + 0x + (-14) = 0. Az elején hasznos lehet a másodfokú egyenlet formájának leírása, még akkor is, ha egyes értékek 0-val egyenlők.
3. lépés. Oldja meg, ha a másodfokú egyenletből származó számokat bedugja a másodfokú képletbe
Másodfokú képlet (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) segít megtalálni az x értékünket ebben a részben. Ne féljen a képlet hosszától. Csak vegye ki az értékeket a másodfokú egyenletéből a második lépésben, és helyezze a megfelelő helyre, mielőtt megoldja őket.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. Egyenletünkben 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 és c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10,58/4)
- x = +/- 2, 64
4. lépés: Ellenőrizze válaszát, ha újra megadja az x értékét a másodfokú egyenletébe
Ha a második lépésből visszacsatolja a számított x értéket a másodfokú egyenletébe, könnyen meghatározhatja, hogy helyesen válaszolt -e. Ebben a példában a 2 -es, 64 -es és -2 -es, 64 -es csatlakozókat csatlakoztatja az eredeti másodfokú egyenlethez.
Tippek
- A törtek ekvivalenssé való átalakítása valójában a tört 1 -gyel való megszorzásának formája. Az 1/2 -ről 2/4 -re való átváltáskor a számláló és a nevező szorzása 2 -vel megegyezik az 1/2 és 2/2 szorzatával, ami 1.
-
Kívánt esetben konvertálja a vegyes számot közönséges törtre, hogy megkönnyítse az átváltást. Természetesen nem minden tört, amellyel találkozik, nem lesz olyan egyszerű, mint a fenti 4/8 -as példa konvertálása. Például a vegyes számok (például 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 stb.) Kicsit bonyolultabbá tehetik az átalakítási folyamatot. Ha egy vegyes számot közös törtre kell konvertálnia, akkor ezt kétféleképpen teheti meg: ha a vegyes számot közös törté alakítja, majd a szokásos módon konvertálja, vagy a vegyes számok formájának fenntartásával és a válaszok vegyes számok formájában történő megszerzésével.
- Ha közös törtre akarjuk konvertálni, akkor a vegyes szám egész összetevőjét megszorozzuk a tört összetevő nevezőjével, majd hozzáadjuk a számlálóhoz. Például 1 2/3 = (((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Ezután, ha szükséges, szükség szerint módosíthatja. Például 5/3 × 2/2 = 10/6, amely továbbra is egyenlő 1 2/3 -mal.
- Azonban nem kell a fenti módon közös töredékké alakítanunk. Ellenkező esetben az egész komponenst békén hagyjuk, csak a tört komponenst változtatjuk meg, és az egész komponenst változatlanul adjuk hozzá. Például 3 4/16 esetében csak a 4/16 -ot látjuk. 4/16 4/4 = 1/4. Tehát, ha hozzáadjuk egész komponenseinket, új vegyes számot kapunk, 3 1/4.
Figyelem
- A szorzás és az osztás használható egyenértékű törtek megszerzésére, mert a szorzás és osztás az 1 tört tört alakjával (2/2, 3/3 stb.) Olyan választ ad, amely definíció szerint egyenértékű az eredeti törttel. Összeadás és kivonás nem használható.
-
Annak ellenére, hogy megszorozzuk a számlálókat és a nevezőket a törtek szorzásakor, a törtek összeadásakor vagy kivonásakor nem adjuk hozzá vagy vonjuk le a nevezőket.
Például fent tudjuk, hogy 4/8 4/4 = 1/2. Ha 4/4 -vel összeadjuk, akkor teljesen más választ kapunk. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 vagy 3/2, nem egyenlőek a 4/8 -al.
