Négyzetgyökér -problémák megoldása (képekkel)

2024 Szerző: Jason Gerald | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-15 08:16

Bár időnként ijesztőnek tűnhet, a négyzetgyök problémát valójában nem is olyan nehéz megoldani. Az egyszerű négyzetgyökfeladatok általában olyan könnyen megoldhatók, mint az alapvető szorzási és osztási feladatok. Bonyolultabb kérdések esetén egy kis extra erőfeszítést igényel. De megfelelő megközelítéssel minden nehéz probléma megoldható. Ebben a cikkben néhány egyszerű lépésben segítünk megoldani a négyzetgyökös problémákat.

Lépés

Rész 1 /3: A négyzetek és a négyzetgyök megértése

1. lépés. A négyzet a szám szorozva magával a számmal

A négyzetgyök megértéséhez jó, ha először megértjük a négyzet jelentését. Egyszerűen fogalmazva, a négyzet egy szám, amelyet megszorozunk magával a számmal. Például a 3 négyzet 3 -szor 3 = 9, a 9 négyzet pedig 9 -szer 9 = 81. A négyzetet a négyzet jobb felső sarkában lévő kis 2 jelöli - így: 3², 9², 100²stb.

Próbáljon négyzetet nézni, hogy tesztelje ezt a koncepciót. Ne feledje, hogy a szám négyzetbe sorolása önmagában megszorozza a számot. Akár négyzetet is írhat negatív számokkal. Az eredmény mindig pozitív szám lesz. Például -8² = -8 × -8 = 64.

2. lépés. A négyzetgyök a négyzet reciproka

A négyzetgyök szimbóluma (√, más néven "radikális" szimbólum) lényegében a szimbólum ellentéte ². Amikor radikálisra talál, tegye fel magának a kérdést: milyen szám, ha négyzetbe kerül, azt a számot eredményezné a radikálison belül? Például, ha a √ (9) -et nézi, keresse meg azt a számot, amely négyzetben kilenc. Így a válasz "három", mert 3² = 9.

• Másik példaként próbáljuk meg megtalálni a 25 négyzetgyökét (√ (25)). Vagyis olyan számot keresünk, amelyet négyzetbe szedve az eredmény 25. Mert 5² = 5 × 5 = 25, akkor (25) =

  5. lépés..

• A négyzetgyök a négyzet "visszavonásának" is tekinthető. Például, ha meg akarjuk találni (64), a 64 négyzetgyökét, akkor gondoljunk 64 -re 8 -nak². Mivel a négyzetgyök szimbólum lényegében „tagadja” a négyzet szimbólumot, ezért (64) = (8²) =

  8. lépés..

3. Ismerje meg a különbséget a tökéletes és a tökéletlen négyzetek között

Négyzetgyök számításaink eddig egész számok voltak. A későbbiekben felmerülő kérdések nem lesznek olyan egyszerűek, lesznek olyan kérdések, amelyek tizedes számmal adnak választ, néhány számjeggyel a vessző mögött. A négyzetesítés után kerekített számokat (azaz nem tört vagy tizedes számokat) „tökéletes négyzeteknek” is nevezik. A korábbi példák mindegyike (9, 25 és 64) tökéletes négyzetek, mert ha négyzetek, akkor az eredmény egy egész szám (3, 5 és 8).

Másrészt a számok, amelyeket nem kerekítenek a négyzetbe helyezés után, "tökéletlen négyzetek". Általában a négyzetbe foglalás után az eredmény tört vagy tizedes szám. Néha még a számok is nagyon bonyolultnak tűnnek, például (13) = 3, 605551275464…

4. lépés. Jegyezze meg az 1-12 számok négyzetét

Mint már tudja, a tökéletes négyzetszám négyzetbe állítása nagyon egyszerű. Az 1-12 számok négyzeteinek memorizálása nagyon hasznos lehet, mert ezek a számok sokat fognak megjelenni a feladatban. Így időt takaríthat meg a kérdések feldolgozása során. Az első 12 négyzetszám:

• 1² = 1 × 1 =

  1. lépés.

• 2² = 2 × 2 =

  4. lépés.

• 3² = 3 × 3 =

  9. lépés.

• 4² = 4 × 4 =

  16. lépés.

• 5² = 5 × 5 =

  25. lépés.

• 6² = 6 × 6 = 36
• 7² = 7 × 7 = 49
• 8² = 8 × 8 = 64
• 9² = 9 × 9 = 81
• 10² = 10 × 10 = 100
• 11² = 11 × 11 = 121
• 12² = 12 × 12 = 144

5. lépés: A négyzetgyök egyszerűsítése a tökéletes négyzetek eltávolításával

A tökéletlen négyzetszám négyzetgyökének megtalálása bonyolult lehet, különösen, ha nem használ számológépet. A négyzetre emelni kívánt szám azonban egyszerűsíthető a számítás megkönnyítése érdekében. Ehhez egyszerűen válassza el a számot a radikálison belül több tényezőre, majd távolítsa el a tökéletes négyzetszám négyzetgyökét, és írja be a választ a radikálison kívülre. Ez a módszer meglehetősen egyszerű - a jobb megértés érdekében itt van további magyarázat:

• Tegyük fel, hogy ki akarjuk számítani a 900 négyzetgyökét. Tehát egyszerűen ossza 900 -t a tényezőire. A „tényezők” olyan számok, amelyeket össze lehet szorozni egy másik szám előállítására. Például a 6 -os számot megszorozva és 1 × 6 és 2 × 3 -mal kaphatjuk meg, tehát a 6 -os tényező 1, 2, 3 és 6.
• Ezt az elvet szem előtt tartva, bontsuk le 900 -at a tényezőire. Kezdésként a 900 -at 9 × 100 -nak írjuk. Mivel a 9 tökéletes négyzet, a 100 négyzetgyökét külön is elvehetjük. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Más szóval (900) = 3√(100).

• Tovább egyszerűsíthetjük, ha 100 -at elkülönítünk a tényezőire, nevezetesen a 25 -re és a 4 -re. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Ezért kiszámítható (900) = 3 (10) =

  30. lépés..

6. lépés. Használjon képzeletbeli számot a negatív szám négyzetgyökéhez

Gondolj bele, milyen szám, ha az eredmény négyzetben -16? A válasz, nem. Minden szám négyzetben az eredmény mindig pozitív, mert negatív (-), negatívgal megszorozva az eredmény pozitív (+). Tehát egy negatív szám négyzetre állításához a negatív számot le kell cserélnünk egy képzeletbeli számra (általában betűk vagy szimbólumok formájában). Például az "i" változót általában a -1 négyzetgyökére használják. Egy képzeletbeli szám mindig a negatív szám négyzetgyökén áll.

Meg kell jegyezni, hogy bár a képzeletbeli számokat sohasem ábrázolják számok, mégis számtalan módon kezelhetők. Például a negatív szám négyzetgyöke négyzetbe állítható, hogy eltávolítsa a négyzetgyököt. Például i² = - 1

2. rész a 3 -ból: Használja a hosszú osztási stílus algoritmust

1. lépés. Oldja meg a négyzetgyök problémákat, például a hosszú osztási problémákat

Bár időigényes, nehéz négyzetgyök problémák megoldhatók számológép nélkül. Ehhez a hosszú stack felosztáshoz hasonló módszert (vagy algoritmust) fogunk használni.

• Kezdje azzal, hogy úgy írja le a négyzetgyök problémát, mint egy hosszú osztási feladatot. Példa feladatként keresse meg a 6, 45 gyökét, ami nem egész szám. Először írjuk be a radikális szimbólumot (√), majd alatta azt a számot, aminek a négyzetét fel akarjuk venni. Ezután húzzon egy vonalat a számok fölé, mint a hosszú halmozási osztás. Most a "√" szimbólum úgy néz ki, mintha farka lenne, alján 6.45 számmal.
• A számokat a probléma fölé írjuk, ezért ügyeljen arra, hogy hagyjon üres helyet.

2. lépés Csoportosítsa a szám számjegyeit párokba

Először csoportosítsa a radikális szám alatti számjegyeket párokba, kezdve a tizedesponttól. Készítsen valamilyen jelölőt (pont, vessző, vonal stb.) A párok között a könnyű követés érdekében.

A példaproblémában a 6, 45 részekre lesz osztva 6-, 45-00. Ne feledje, hogy a bal oldalon vannak "fennmaradó" számjegyek - ez nem jelent problémát.

3. lépés. Keresse meg a legnagyobb számot, amelynek négyzetértéke kisebb vagy egyenlő az első csoportéval

Kezdje a bal oldali csoport első számával. Válassza ki a legnagyobb számot, amelynek négyzetértéke kisebb vagy egyenlő a csoportban. Például, ha a csoport 37, akkor válassza a 6 -ot, mert 6² = 36 <37, de 7² = 49> 37. Írja ezt a számot az első csoport fölé. Ez a szám a válasz első számjegye.

• A példaproblémában az első 6-, 45-00-os csoport 6. A legnagyobb szám, amely négyzetben 6-nál kisebb vagy egyenlő

  2. lépés. - 2² = 4. Írja a "2" számot 6 fölé, és a farok gyök.

Lépés 4. Szorozza meg az imént leírt számot, majd engedje le, majd vonja ki

Fogja meg válaszának első számjegyét (a radikális fölé írva), és szorozza meg. Írja a választ az első csoport alá, és vonja le, hogy megtalálja a különbséget. Dobja el a következő csoportot az éppen kiszámított különbségtől jobbra. Végül írja balra a válasz első számjegyének megszorzásának utolsó számjegyét, és hagyjon üres helyet a jobb oldalon.

A példaproblémában a duplázott szám 2 (az előző válasz első számjegye). 2 × 2 = 4. Ezután vonjon le 4 -t 6 -tal (az első csoportból). 6 - 4 az eredmény 2. Ezután hozd le a következő csoportot (45) és kapjuk a 245. Végül írjuk újra a 4 -es számot a bal oldalra, és hagyjunk egy kis helyet a jobb oldalon, így: 4_

5. lépés. Töltse ki az üres mezőt

Adja hozzá a számjegyeket a bal oldalon írt szám jobb oldalán. Válassza ki azt a számjegyet, amely az új számmal megszorozva a legnagyobb értéket adja, de még mindig kisebb vagy egyenlő a „származtatott számmal”. Például, ha a „származtatott szám” 1700, és a bal oldali szám 40_, akkor a 4 -es számot kell megadni, mert 404 × 4 = 1616 <1700, míg 405 × 5 = 2025. ez a lépés a válasz második számjegye, ezért írja be a radikális szimbólum fölé.

• A példaproblémában azt a számot keressük a 4_ × _ mellett, amelynek válasza a legnagyobb, de kisebb vagy egyenlő 245 -tel.

  5. lépés.. 45 × 5 = 225, míg 46 × 6 = 276.

6. lépés. Továbbra is használja az „üres hely” számokat a válasz megtalálásához

Folytassa a hosszú halmozási felosztási mintát, amíg a származtatott számok kivonásai közötti különbség nulla, vagy egészen pontos számot nem kap. Ha elkészült, az egyes lépésekben az üres helyek kitöltéséhez használt számok (és a legelső használt szám) alkotják a válasz minden számjegyét.

• A példaproblémában húzzuk ki a 245 -öt 220 -ból, hogy 20 -at kapjunk. Ezután csökkentjük a következő számjegycsoportot, 00 és kapunk 2000. Szorozzuk meg a radikális szimbólum feletti számot, és 25 × 2 = 50 lesz. az üres helyeken 50_ × _ =/<2 000, kapjuk a számot

  3. lépés.. Most "253" van a radikális szimbólum felett - ismételje meg ezt a folyamatot, és kapjon 9 -et a következő számjegyben.

7. lépés Távolítsa el a tizedes jelet az origóból

A végső válasz megszerzéséhez tegye a tizedesjegyet a megfelelő helyre. Ez egyszerű - csak tedd a tizedespontot a radikális szimbólum alá. Például a gyök alatti szám 49, 8, ezért tegyen tizedespontot a 8 és 9 feletti számok közé.

A példaproblémában, ha a gyök alatti szám 6, 45, akkor a tizedespont a 2 és 5 számjegyek között lesz. Ez azt jelenti, hogy a végső válasz 2, 539.

Rész 3 /3: Gyorsan becsülje meg a tökéletlen négyzeteket

1. lépés Keresse meg a tökéletlen négyzetet közelítéssel

Miután megjegyezte a tökéletes négyzeteket, a tökéletlen négyzetek megtalálása sokkal könnyebb lesz. A trükk az, hogy talál egy tökéletes négyzetet a keresett szám előtt és után. Ezután határozza meg, hogy a két tökéletes négyzet közül melyik áll legközelebb a keresett számhoz.

Például meg akarjuk találni a 40 négyzetgyökét. A tökéletes négyzetszám 40 előtt és után 6² és 7², ami 36 és 49. Mivel a 40 nagyobb 36 -nál és 49 -nél kisebb, a 40 négyzetgyökének 6 és 7 közé kell esnie. A 40 -es szám közelebb van a 36 -hoz, mint a 49, tehát a 40 négyzetgyöke közelebb van a 6 -hoz Íme néhány lépés a pontos válasz megtalálásához.

Lépés 2. Becsülje meg a négyzetgyököt a vessző után egy számjegyűre

Ha két tökéletes négyzet számot határozott meg a keresett szám előtt és után, akkor a többi a válaszhoz legközelebb eső szám megtalálása a vessző mögött. Kezdje a becsült egyjegyű számmal a vessző után. Ez a folyamat addig ismétlődik, amíg meg nem kapja a kívánt pontosságú választ.

A példaproblémában a 40 -es négyzetgyök ésszerű közelítése 6, 4, mert a válasz nagy valószínűséggel közelebb van a 6 -hoz, mint a 7 -hez.

3. Szorozza meg becsült számát magával a számmal

Más szóval, négyzetelje hozzávetőleges számát. Ha szerencséje van, az eredmény a probléma száma lesz. Ha nem, folytassa a vessző utáni számok összeadását vagy kivonását, amíg meg nem találja a feladathoz legközelebb eső négyzetet.

• Szorozzuk a 6 -ot, 4 -t 6 -tal, 4 -et, hogy 6, 4 × 6, 4 = -et kapjunk 40, 96, ami valamivel 40 felett van.
• Mivel a kezdeti kísérlet redundáns volt, vonja le a közelítést egy tizedesjegyből, ami 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Ez az eredmény valamivel alatta marad a probléma számának. Ez azt jelenti, hogy a 40 négyzetgyöke 6, 3 és 6, 4 között van. Ezután, mivel a 39,69 közelebb van a 40 -hez, a 40 négyzetgyöke is közelebb van a 6, 3 -hoz.

Lépés 4. Szükség szerint előre előrejelzés

Használja a válaszát, ha úgy gondolja, hogy elég pontos. De ha nem, folytassa a fenti hozzávetőleges mintát, amíg a vessző után három -négy számjegyű választ nem talál - mindenesetre, amíg el nem éri a kívánt pontosságot.

A példaproblémában próbáljuk meg a 6, 33 -at választani hozzávetőleges két számjegyként a vessző mögött. 6, 33 négyzet és az eredmény 6, 33 × 6, 33 = 40, 0689. Mivel az eredmény meghaladja a feladatban szereplő számot, megpróbáljuk a vessző utáni második számot 6, 32. 6, 32 × -re csökkenteni. 6, 32 = 39, 9424. Ez az eredmény valamivel alatta marad a feladatban szereplő számnak. Tehát a 40 négyzetgyöke között van 6, 33 és 6, 32. Ha pontosabb választ szeretne, folytassa a vessző után három, négy vagy akár öt számjeggyel.

Tippek

A leggyorsabb megoldáshoz használjon számológépet. A modern számológépek most gyorsan megtalálják a négyzetgyököt. Általában csak írja be a keresett számot, majd nyomja meg a radikális szimbólummal ellátott gombot. Például a 841 négyzetgyökének megtalálásához nyomja meg a 8, 4, 1, (√) gombot, és megjelenik a válasz 39.