A származékok felhasználhatók a grafikonból olyan hasznos jellemzők levezetésére, mint a maximum, minimum, csúcs, mélypont és meredekség értékek. Segítségével akár összetett egyenleteket is ábrázolhat grafikus számológép nélkül! Sajnos a származtatott ügyleteken való munka gyakran unalmas, de ez a cikk segít néhány tippben és trükkben.
Lépés
1. lépés: A származtatott jelölés megértése
A következő két jelölés a leggyakrabban használt, bár sok más megtalálható itt a Wikipédián.
- Leibniz -jelölés Ez a jelölés a leggyakrabban használt jelölés, ha az egyenlet y -t és x -et tartalmaz. A dy/dx szó szerint y származékát jelenti x -hez képest. Hasznos lehet y/Δx -ként gondolni az x és y nagyon eltérő értékeire. Ez a magyarázat a derivált határ meghatározásához vezet: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/óra. Amikor ezt a jelölést a második deriváltra használja, a következőket kell írnia: d2y/dx2.
- Lagrange -jelölés Az f függvény deriváltját f '(x) -ként is írjuk. Ez a jelölés f ékezetes x betűt tartalmaz. Ez a jelölés rövidebb, mint Leibniz jelölése, és hasznos a származékok függvényként való megtekintésekor. Ahhoz, hogy nagyobb fokú deriváltot hozzon létre, csak adja hozzá az 'f -hez, így a második derivált lesz f' '(x).
2. lépés. Értse meg a derivátum jelentését és a leszármazás okait
Először is, egy lineáris gráf meredekségének megkereséséhez az egyenes két pontját veszik fel, és koordinátáikat beírják az egyenletbe (y2 - y1)/(x2 - x1). Azonban csak lineáris gráfokhoz használható. Másodfokú és ennél magasabb egyenletek esetén az egyenes görbe lesz, így a két pont közötti különbség megtalálása nem túl pontos. A görbe gráfjában az érintő meredekségének megkereséséhez két pontot kell venni, és be kell illeszteni az általános egyenletbe, hogy megtaláljuk a görbe grafikonjának meredekségét: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx jelzi a delta x értéket, ami a grafikon két pontján lévő két x koordináta közötti különbség. Vegye figyelembe, hogy ez az egyenlet megegyezik (y2 - y1)/(x2 - x1), csak más formában. Mivel ismert volt, hogy az eredmények pontatlanok lesznek, közvetett megközelítést alkalmaztak. Ahhoz, hogy az (x, f (x)) érintő meredekségét megtalálja, dx -nek közel kell lennie a 0 -hoz, hogy a két rajzolt pont egy pontba olvadjon össze. A 0-t azonban nem oszthatja fel, ezért miután megadta a kétpontos értékeket, faktoring és más módszerek segítségével kell eltávolítania a dx-et az egyenlet aljáról. Ha ezt megtette, készítse el a dx 0 -t, és kész. Ez az (x, f (x)) érintőjének meredeksége. Az egyenlet deriváltja az általános egyenlet bármely grafikus érintő meredekségének megállapítására. Ez nagyon bonyolultnak tűnhet, de az alábbiakban néhány példa található, amelyek segítenek elmagyarázni, hogyan lehet beszerezni a származékot.
1. módszer a 4 -ből: Explicit Derivatives
1. lépés Használjon explicit deriváltot, ha az egyenlet egyik oldalán már y szerepel
2. lépés Dugja be az egyenletet az [f (x + dx) - f (x)]/dx egyenletbe
Például, ha az egyenlet y = x2, a derivált lesz [(x + dx)2 - x2]/dx.
Lépés 3. Bontsa ki és távolítsa el a dx -et a [dx (2x + dx)]/dx egyenlet kialakításához
Most két dx -t önthet a tetejére és az aljára. Az eredmény 2x + dx, és a dx nullához közeledve a derivált 2x. Ez azt jelenti, hogy az y gráf bármely érintőjének meredeksége = x2 2x van. Csak adja meg annak a pontnak az x-értékét, amelyhez lejtőt szeretne találni.
4. lépés Ismerje meg a hasonló egyenletek levezetésének mintáit
Íme néhány példa.
- Bármely kitevő a hatvány és az 1 -nél kisebb teljesítményre emelt érték szorzata. Például x deriváltja5 az 5x4, és x származéka3, 5 iis3, 5x2, 5. Ha már van egy szám az x előtt, akkor csak szorozza meg a hatalommal. Például a 3x származéka4 12x3.
- Bármely állandó deriváltja nulla. Tehát a 8 származéka 0.
- Az összeg deriváltja az adott származékok összege. Például x származéka3 + 3x2 3x2 + 6x.
- A termék deriváltja az első tényező szorzata a második tényező deriváltjával, plusz a második tényező szorozva az első tényező deriváltjával. Például x származéka3(2x + 1) x3(2) + (2x + 1) 3x2, ami 8x3 + 3x2.
- A hányados származéka (mondjuk f/g) [g (f származéka) - f (g származéka)]/g2. Például (x származéka2 + 2x - 21)/(x - 3) az (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
2. módszer a 4 -ből: Implicit származékok
1. lépés. Használjon implicit származékot, ha egyenlete még nem írható y -val az egyik oldalon
Valójában, ha az egyik oldalára y -t ír, a dy/dx kiszámítása unalmas lenne. Íme egy példa arra, hogyan lehet megoldani ezt a fajta egyenletet.
2. lépés: Ebben a példában x2y + 2y3 = 3x + 2y, cserélje y -t f (x) -re, így emlékezni fog arra, hogy y valójában egy függvény.
Ekkor az egyenlet x lesz2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
3. lépés: Ennek az egyenletnek a deriváltjának megkereséséhez származtassa le az egyenlet mindkét oldalát az x vonatkozásában
Ekkor az egyenlet x lesz2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
4. lépés Helyezze vissza f (x) -et y -val
Ügyeljen arra, hogy ne helyettesítse az f '(x) -et, amely eltér az f (x) -től.
5. lépés Keresse meg az f '(x) parancsot
Erre a példára a válasz (3 - 2xy)/(x2 + 6 év2 - 2).
3. módszer a 4 -ből: magasabb rendű származékok
1. lépés. A magasabb rendű függvény származtatása azt jelenti, hogy a deriváltot származtatja (a 2. sorrend szerint)
Például, ha a probléma azt kéri, hogy származtasson harmadik sorrendet, akkor csak vegye le a derivált származéka származékát. Néhány egyenlet esetén a magasabb rendű derivált 0 lesz.
4. módszer a 4 -ből: Láncszabály
1. lépés. Ha y a z differenciálfüggvénye, és z az x differenciálfüggvénye, akkor y az x összetett függvénye, és y származéka az x (dy/dx) vonatkozásában (dy/du)* (du/dx)
A láncszabály lehet teljesítményegyenletek kombinációja is, például: (2x4 - x)3. A derivált megtalálásához gondoljunk csak a szorzási szabályra. Szorozzuk meg az egyenletet a hatalommal, és csökkentsük 1 -gyel a teljesítményre. Ezután szorozzuk meg az egyenletet a zárójelben lévő egyenlet deriváltjával, amely növeli a teljesítményt (ebben az esetben 2x^4 - x). A válasz erre a kérdésre 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Tippek
- Ha nehéz megoldandó problémát lát, ne aggódjon. Csak próbáld meg minél több kisebb részre bontani a szorzás, hányados stb. Szabályainak alkalmazásával. Ezután engedje le az egyes részeket.
- Gyakorolja a szorzási szabályt, a hányados szabályt, a láncszabályt és különösen az implicit derivátumokat, mert ezek a szabályok sokkal nehezebbek a számításban.
- Jól értse meg számológépét; próbálja ki a számológép különböző funkcióit, hogy megtanulja használni őket. Nagyon hasznos tudni, hogyan kell használni az érintőket és a derivált függvényeket a számológépben, ha rendelkezésre állnak.
- Ne feledje az alapvető trigonometrikus származékokat és azok használatát.
