A trinomiális kifejezés három tagból álló algebrai kifejezés. Valószínűleg elkezdi megtanulni a másodfokú hármasszám, azaz a ax alakban írt háromszög meghatározását2 + bx + c. Meg kell tanulni néhány trükköt, amelyek sokféle másodfokú trinomiális típushoz használhatók, de gyakorlással jobban és gyorsabban használhatja őket. Magasabb rendű polinomok, olyan kifejezésekkel, mint az x3 vagy x4, nem mindig lehet ugyanúgy megoldani, de gyakran használhat egyszerű faktoringot vagy helyettesítést, hogy olyan problémává váljon, amely bármely más másodfokú képlethez hasonlóan megoldható.
Lépés
Módszer 1 /3: Faktoring x2 + bx + c
1. lépés Ismerje meg a PLDT szorzást
Lehet, hogy megtanulta, hogyan kell megszaporítani a PLDT -t, vagy az "Először, kívül, belül, utoljára" kifejezést, mint például (x+2) (x+4). Hasznos tudni, hogyan működik ez a szorzás, mielőtt figyelembe vesszük:
- Szaporítsd a törzseket Első: (x+2)(x+4) = x2 + _
-
Szaporítsd a törzseket Kívül: (x+2) (x+
4. lépés.) = x2+ 4x + _
-
Szaporítsd a törzseket Ban ben: (x+
2. lépés.)(x+4) = x2+4x+ 2x + _
-
Szaporítsd a törzseket Végső: (x+
2. lépés.)(x
4. lépés.) = x2+4x+2x
8. lépés.
- Egyszerűsítse: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8
2. lépés: A faktorálás megértése
Ha két binomiális számot megszoroz a PLDT módszerrel, akkor egy trinomiális (három tagú kifejezés) x formátumot kap2+ b x+ c, ahol a, b és c rendes számok. Ha egy azonos alakú egyenlettel kezdi, akkor két binomiálisra visszaszámolhatja.
- Ha az egyenletek nem ebben a sorrendben íródtak, akkor rendezze át az egyenleteket, hogy ez legyen a sorrendjük. Például írja át 3x - 10 + x2 Válik x2 + 3x - 10.
- Mivel a legnagyobb teljesítmény 2 (x2, ezt a fajta kifejezést másodfokúnak nevezik.
Lépés 3. Hagyjon üres helyet a válasznak PLDT szorzás formájában
Egyelőre csak írj (_ _)(_ _) ahol leírod a választ. Feltöltjük, amíg dolgozunk rajta
Ne írjon + vagy - az üres kifejezések közé, mert még nem ismerjük a helyes előjelet
4. lépés. Töltse ki az első kifejezéseket
Egyszerű problémák esetén a trinomiális első tagja csak x2, az Első pozícióban szereplő kifejezések mindig x és x. Ezek az x kifejezés tényezői2 mert x x x = x2.
- Példánk x2 + 3x - 10 x -el kezdve2, így írhatjuk:
- (x _) (x _)
- A következő részben bonyolultabb problémákkal fogunk foglalkozni, beleértve a 6 -szoros kifejezésekkel kezdődő trinomiálisokat2 vagy -x2. Addig is kövesse ezeket a mintakérdéseket.
5. lépés. A faktoring segítségével kitalálja az utolsó kifejezéseket
Ha visszamegy, és elolvassa a PLDT szaporításának lépéseit, látni fogja, hogy az Utolsó tagok megszorzásával a polinom utolsó tagja lesz (olyan kifejezések, amelyekben nincs x). Tehát, ha figyelembe vesszük, két számot kell találnunk, amelyek szorzásával az utolsó tag jön létre.
- Példánkban x2 + 3x - 10, az utolsó tag -10.
- Melyek a -10 tényezői? Melyik számot szorozzuk -10 -gyel?
- Számos lehetőség van: -1 -szer 10, 1 -szer -10, -2 -szer 5, vagy 2 -szer -5. Írd le ezeket a párokat valahová, hogy emlékezzenek rájuk.
- Ne változtassa meg a válaszunkat. A válaszunknak így kell kinéznie: (x _) (x _).
6. lépés. Tesztelje a külső és belső termékhez illő lehetőségeket
Az utolsó kifejezéseket néhány lehetőségre szűkítettük le. Használja a próbarendszert minden lehetőség teszteléséhez, megszorozva a külső és belső kifejezéseket, és összehasonlítva a terméket a trinomiálisunkkal. Például:
- Eredeti problémánkban az "x" kifejezés 3x -os volt, így a teszteredményeinknek meg kell egyezniük ezzel a kifejezéssel.
- Vizsgálatok -1 és 10: (x -1) (x+10). Kívül + belül = 10x - x = 9x. Rossz.
- 1. és -10. Teszt: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Ez rossz. Valójában, ha -1 -et és 10 -et tesztel, akkor azt találja, hogy 1 és -10 a fenti válasz ellentéte: 9x helyett -9x.
- 2. és 5. teszt: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Az eredmény megfelel a kezdeti polinomnak, tehát itt a helyes válasz: (x-2) (x+5).
- Ilyen egyszerű esetekben, ha nincs állandója az x kifejezés előtt2, használhatja a gyors módszert: csak adja össze a két tényezőt, és tegyen egy "x" -et mögé (-2+5 → 3x). Ez a módszer azonban nem működik bonyolultabb problémák esetén, ezért jobb emlékezni a fent leírt "hosszú útra".
2. módszer a 3 -ból: Bonyolultabb hármasok faktorálása
1. lépés: Az egyszerű faktoring segítségével egyszerűbbé teheti a bonyolultabb problémákat
Például figyelembe kell venni 3x2 + 9x - 30. Keressen egy számot, amely figyelembe veszi mindhárom kifejezést ("legnagyobb közös tényező" vagy GCF). Ebben az esetben a GCF 3:
- 3x2 = (3) (x2)
- 9x = (3) (3x)
- -30 = (3)(-10)
- Így 3x2 + 9x - 30 = (3) (x2+3x-10). A fenti szakasz lépései alapján kiszámíthatjuk az új trinomiális számot. A végső válaszunk az lesz (3) (x-2) (x+5).
2. lépés. Keressen bonyolultabb tényezőket
Néha a faktorálás tartalmazhat változót, vagy többször is figyelembe kell vennie a lehetséges legegyszerűbb kifejezés megtalálását. Íme néhány példa:
- 2x2y + 14xy + 24y = (2 éves)(x2 + 7x + 12)
- x4 + 11x3 - 26x2 = (x2)(x2 +11x - 26)
- -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
- Ne felejtse el újrakonfigurálni az új trinomiált az 1. módszer lépéseinek segítségével. Ellenőrizze munkáját, és keressen hasonló problémákra példákat az oldal alján található mintakérdésekben.
3. Problémák megoldása az x előtti számmal2.
Néhány másodfokú háromszög nem redukálható a legegyszerűbb típusú problémára. Ismerje meg a 3x -os problémák megoldását2 + 10x + 8, majd gyakoroljon egyedül az oldal alján található mintakérdésekkel:
- Állítsuk válaszunkra: (_ _)(_ _)
- Az "Első" kifejezéseink mindegyikének egy x -je lesz, és ha megszorozzuk őket, akkor 3x lesz2. Csak egy lehetőség van: (3x _) (x _).
- Sorolja fel a 8 -as tényezőket. Az esély 1 -szer 8 vagy 2 -szer 4.
- Tesztelje ezt a lehetőséget a külső és belső kifejezések használatával. Vegye figyelembe, hogy a tényezők sorrendje nagyon fontos, mivel a külső tagot x helyett 3x szorozzuk. Próbáljon ki minden lehetőséget, amíg ki nem jut = 10x (az eredeti problémából):
- (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x nem
- (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x nem
- (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x nem
- (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x Igen. Ez a helyes tényező.
4. lépés. Használjon helyettesítést a magasabb rendű trinomiálisokhoz
Matematikai könyve meglephet nagy teljesítményű egyenletekkel, például x4, még azután is, hogy egyszerű faktoringot használ a probléma megkönnyítése érdekében. Próbáljon meg egy új változót kicserélni, amely olyan problémává változtatja, amelyet tud megoldani. Például:
- x5+13x3+36x
- = (x) (x4+13x2+36)
- Hozzunk létre egy új változót. Tegyük fel, hogy y = x2 és tedd bele:
- (x) (y2+13é+36)
- = (x) (y+9) (y+4). Most konvertálja vissza a kezdeti változóba:
- = (x) (x2+9) (x2+4)
- = (x) (x ± 3) (x ± 2)
3. módszer a 3 -ból: Különleges esetek faktorálása
1. lépés. Keressen prímszámokat
Nézze meg, hogy a trinomiális első vagy harmadik tagjának állandója prímszám -e. Egy prímszám csak önmagában osztható és 1, tehát csak egy lehetséges binomiális pár van.
- Például x -ben2 A + 6x + 5, 5 prímszám, tehát a binomiálisnak (_ 5) (_ 1) alakúnak kell lennie.
- A 3x problémában2A+10x+8, 3 prímszám, tehát a binomiálisnak (3x _) (x _) alakúnak kell lennie.
- Kérdések esetén 3x2+4x+1, mind a 3, mind az 1 prímszám, így az egyetlen lehetséges megoldás a (3x+1) (x+1). (Még mindig meg kell szorozni ezt a számot a válasz ellenőrzéséhez, mert egyes kifejezéseket egyáltalán nem lehet figyelembe venni - például 3x2+100x+1 nincs tényező.)
2. lépés. Tudja meg, hogy a háromszög tökéletes négyzet
Egy tökéletes négyzetháromsávot két egyforma binomiálisra lehet osztani, és a tényezőt általában (x+1)2 és nem (x+1) (x+1). Íme néhány példa, amelyek általában kérdésekben jelennek meg:
- x2+2x+1 = (x+1)2és x2-2x+1 = (x-1)2
- x2+4x+4 = (x+2)2és x2-4x+4 = (x-2)2
- x2+6x+9 = (x+3)2és x2-6x+9 = (x-3)2
- Tökéletes négyzet alakú háromszög x alakban2 + bx + c mindig vannak olyan a és c kifejezések, amelyek pozitív tökéletes négyzetek (például 1, 4, 9, 16 vagy 25), és egy b kifejezés (pozitív vagy negatív), amely 2 (√a * √c).
3. lépés. Tudja meg, hogy a problémára nincs -e megoldás
Nem minden trinomáliát lehet figyelembe venni. Ha nem tudja figyelembe venni a másodfokú háromsávot (ax2+bx+c), a másodfokú képlet segítségével keresse meg a választ. Ha az egyetlen válasz a negatív szám négyzetgyöke, nincs valós számmegoldás, akkor a problémának nincsenek tényezői.
Nem négyzet alakú háromszögűeknél használja az Eisenstein-kritériumot, amelyet a Tippek szakasz ismertet
Válaszok és mintakérdések
-
Válaszok a "bonyolult faktoring" kérdésekre.
Ezek a "bonyolultabb tényezők" lépésből származó kérdések. A problémákat egyszerűbbre egyszerűsítettük, ezért próbálja meg megoldani őket az 1. módszer lépéseivel, majd ellenőrizze munkáját itt:
- (2é) (x2 + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (x2)(x2 + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x2 -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)2
-
Próbáljon meg összetettebb faktorálási problémákat.
Ezeknek a problémáknak minden tényezőben ugyanaz a tényezője, amelyet először figyelembe kell venni. A válaszok megtekintéséhez blokkolja az üres helyeket az egyenlőségjel után:
- 3x3+3x2-6x = (3x) (x+2) (x-1) blokkolja az üres részt a válasz megtekintéséhez
- -5x3y2+30x2y2-25 éves2x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
-
Gyakorold a kérdések használatát. Ezeket a problémákat nem lehet egyszerűbb egyenletekbe foglalni, ezért a választ a (_x + _) (_ x + _) formában kell megtalálnia a próba és hiba segítségével:
- 2x2+3x-5 = (2x+5) (x-1) blokk a válasz megtekintéséhez
- 9x2+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)2 (Tipp: Érdemes több faktorpárt is kipróbálni 9x.)
Tippek
- Ha nem tudja kitalálni, hogyan kell tényezőként meghatározni egy másodfokú háromsávot (ax2+bx+c), a másodfokú képlet segítségével megtalálhatja az x -et.
-
Bár nem kell tudnia, hogyan kell ezt megtenni, az Eisenstein -kritériumok segítségével gyorsan megállapíthatja, hogy egy polinomot nem lehet -e egyszerűsíteni és figyelembe venni. Ez a kritérium bármely polinomra vonatkozik, de legjobban a trinomiálisokra használható. Ha van egy p prímszám, amely egyenlően osztja el az utolsó két tagot, és megfelel a következő feltételeknek, akkor a polinom nem egyszerűsíthető:
- Az állandó kifejezések (változók nélkül) p többszörösei, de nem p többszörösei2.
- Az előtag (például a axben2+bx+c) nem p többszöröse.
- Például 14x2 A +45x +51 nem egyszerűsíthető, mert van egy prímszám (3), amely osztható mind 45 -tel, mind 51 -gyel, de nem osztható 14 -gyel, és 51 nem osztható 3 -mal.2.
Figyelem
Bár ez igaz a másodfokú hármashalmokra, a figyelembe vehető trinomiális nem feltétlenül két binomiális termék. Például x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2) (x2 - 5x + 23).
