A Pitagorasz -tétel elegáns és praktikus módon írja le a derékszögű háromszög oldalainak hosszát, ezért ezt a tételt ma is széles körben használják. Ez a tétel azt állítja, hogy bármely derékszögű háromszög esetén a nem szögletes oldalak négyzeteinek összege egyenlő a hipotenusz négyzetével. Más szavakkal, egy derékszögű háromszögre, amelynek merőleges oldalai vannak a és b, és c hipotenusz, a2 + b2 = c2.
A Pitagorasz -tétel az elemi geometria egyik alappillére. Számtalan alkalmazás használja ezt a tételt, például annak érdekében, hogy megkönnyítse a koordináta sík két pontja közötti távolság megtalálását.
Lépés
1 /2 -es módszer: A derékszögű háromszög oldalainak megkeresése
1. lépés. Győződjön meg arról, hogy a háromszög derékszögű háromszög
A Pitagorasz -tétel csak a derékszögű háromszögekre vonatkozik, ezért mielőtt továbblépnénk, nagyon fontos meggyőződni arról, hogy a háromszögek megfelelnek a derékszögű háromszögek tulajdonságainak. Szerencsére van egy tényező, amely jelezheti, hogy a háromszög derékszögű háromszög. A háromszögnek 90 fokos szöggel kell rendelkeznie.
Jelként a derékszögű háromszögeket gyakran kis négyzetekkel jelölik a 90 fokos szögek jelölésére, nem használnak ívelt "görbéket". Keresse meg ezt a jelet a háromszög sarkában
2. Adja meg a háromszög oldalainak a, b és c változóit
A Pitagorasz -tételben az a és b változók a jobb oldali háromszögben találkozó oldalakat jelölik, míg a c változó a hipotenuszt - a derékszöggel szemben lévő hosszú oldalt. Tehát először is jelölje meg a háromszög rövid oldalait az a és b változókkal (nem mindegy, hogy kicseréli őket), és jelölje meg a hipotenúzt a c változóval.
3. lépés. Döntse el, hogy a háromszög melyik oldalát szeretné megoldani
A Pitagorasz -tétel lehetővé teszi, hogy a matematikusok megtalálják a derékszögű háromszög bármely oldalának hosszát, amennyiben ismerik a másik két oldal hosszát. Határozza meg, melyik oldal ismeretlen - a, b és/vagy c. Ha egyik oldala hossza ismeretlen, készen áll a továbblépésre.
- Például tudjuk, hogy egy háromszög hipotenuszának hossza 5, másik oldalának hossza pedig 3, de nem vagyunk biztosak a harmadik oldal hosszában. Ebben az esetben tudjuk, hogy a harmadik oldal hosszát keressük, és mivel ismerjük a másik kettő hosszát, meg tudjuk oldani! Ezen a problémán dolgozunk a következő lépésekkel.
- Ha nem ismeri két oldal hosszát, ismernie kell az egyik oldalt, hogy használni tudja a Pitagorasz -tételt. Az alapvető trigonometrikus függvények segíthetnek abban, ha ismeri a háromszög egyik oldalát, amely nem ferde.
4. lépés Csatlakoztassa az egyenletbe a már ismert kétoldalas értékeket
Dugja be a háromszög oldalainak hosszát az a2 + b2 = c2. Ne feledje, hogy a és b nem ferde oldalak, míg c a hipotenusz.
Példánkban ismerjük az egyik oldal hosszát és a hipotenúzt (3 és 5), így az egyenlet 3² + b² = 5²
5. lépés. Négyzet
Az egyenlet megoldásához kezdje az ismert oldalak négyzetével. Alternatív megoldásként, ha ezt könnyebbnek találja, négyzetben hagyhatja az oldalhosszakat, és később négyzetbe állíthatja őket.
-
Példánkban a 3 -as és 5 -ös négyzeteket úgy alakítjuk ki, hogy megkapjuk
9. lépés. da
25. lépés.. Az egyenletet 9 + b² = 25 -nek írhatjuk.
6. lépés. Mozgassa az ismeretlen változót az egyenlet másik oldalára
Ha szükséges, használjon alapvető algebrai műveleteket, hogy az ismeretlen változó az egyenlet másik oldalára, a másik két változó négyzete pedig a másik oldalra kerüljön. Ha meg akarja találni a hipotenusz hosszát, akkor a c már az egyenlet másik oldalán található, így nem kell semmit tennie annak mozgatásához.
Példánkban az aktuális egyenlet 9 + b² = 25. A b² mozgatásához vonjuk le az egyenlet mindkét oldalát 9 -gyel, így az eredmény b² = 16
7. lépés. Az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyöke
Most csak az egyik változó van négyzetben az egyik oldalon, és szám a másik oldalon. Négyzetgyök mindkét oldalon, hogy megtalálja az ismeretlen oldal hosszát.
- Példánkban b² = 16, ha mindkét oldal négyzetgyökét vesszük, akkor b = 4. Így azt mondhatjuk, hogy a háromszög ismeretlen oldalának hossza
4. lépés..
8. lépés: A Pitagorasz -tétel segítségével keressük meg a valódi derékszögű háromszög oldalait
A Pitagorasz -tételt ma széles körben használják, mert számtalan gyakorlati helyzetben alkalmazható. Tanulja meg ismerni a derékszögű háromszögeket a valós életben - minden olyan helyzetben, amikor két tárgy vagy egyenes találkozik derékszöggel, és a harmadik objektum vagy egyenes átlósan csatlakozik a két tárgyhoz vagy vonalhoz, akkor a Pitagorasz -tétel segítségével megkeresheti az oldal hosszát a másik, ha a másik két oldal hossza ismert.
-
Próbáljunk ki egy valódi példát, ami egy kicsit nehezebb. Egy létra az épületnek támaszkodik. A lépcső aljától a falig terjedő távolság 5 méter. A lépcsők magassága eléri a 20 métert. Milyen hosszú a létra?
-
A faltól 5 méterre és 20 méter magasan a háromszög oldalainak hossza látható. Mivel a fal és a talaj (feltételezve) derékszöget képeznek, és a létra átlósan támaszkodik a falhoz, ez az elrendezés a derékszögű háromszögnek tekinthető, amelynek oldalhossza a = 5 és b = 20. A létra hossza a hipotenusz, tehát a c értéke nem ismert. Használjuk a Pitagorasz -tételt:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- gyök (425) = c
- c = 20,6. A létra hozzávetőleges hossza 20,6 méter.
-
2. módszer 2-ből: Az X-Y sík két pontja közötti távolság kiszámítása
1. lépés. Keressen két pontot az X-Y síkban
A Pitagorasz-tétel könnyen használható az X-Y sík két pontja közötti egyenes távolság kiszámításához. Csak annyit kell tudnia, hogy a két pont x és y koordinátája. Ezeket a koordinátákat általában (x, y) formában írják össze.
A két pont közötti távolság megállapításához minden pontot egy derékszögű háromszög egyik nem derékszögének tekintünk. Ha így tesz, könnyen megtalálhatja az a és a b oldalak hosszát, majd kiszámíthatja a c hipotenúzt, ami a két pont közötti távolság
2. lépés. Rajzolja le két pontját a képen
Egy szabályos X-Y síkban minden pont (x, y), x egy vízszintes, y egy függőleges koordinátát jelent. Megtalálhatja a távolságot a két pont között anélkül, hogy rajzolna, de így vizuális képet kap, amely segítségével ellenőrizheti, hogy a válasz helyes.
3. lépés. Keresse meg a háromszög nem ferde oldalának hosszát
Használja a két pontot a hipotenusz melletti háromszög szögeként, és keresse meg a háromszög a és b oldalainak hosszát. Ezt megteheti egy kép vagy a | x képlet használatával1 - x2| a vízszintes oldalra és | y1 - y2| függőleges oldalra, (x1, y1) első pontként és (x2, y2) második pontként.
-
Legyen két pontunk (6, 1) és (3, 5). Háromszögünk vízszintes oldalának hossza:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
3. lépés.
-
A függőleges oldal hossza:
- | y1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
4. lépés.
- Tehát a jobb oldali háromszögünkben az a = 3 oldal és a b = 4 oldal.
4. lépés: A Pitagorasz -tétel segítségével keressük meg a hipotenusz hosszát
A két pont közötti távolság a háromszög hipotenuszának hossza, amelynek két oldalát most találta meg. A Pitagorasz -tétel segítségével keressük meg a hipotenúzt, ahol a az első oldal hossza, és b a második oldal hossza.
-
Példánkban a (3, 5) és (6, 1) pontokat használjuk, amelyek oldalhossza 3 és 4, így a hipotenúzt a következőképpen találhatjuk meg:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = gyökér (9+16)
- c = gyökér (25)
-
c = 5. A (3, 5) és (6, 1) közötti távolság
5. lépés..
-
Tippek
-
A hipotenúz mindig:
- a derékszöggel szemben (a derékszög megérintése nélkül)
- derékszögű háromszög leghosszabb oldala
- c -nek nevezik a Pitagorasz -tételben
- gyök (x) az x négyzetgyökét jelenti.
- Ne felejtse el mindig ellenőrizni a válaszokat. Ha a válasz rossznak tűnik, próbálja újra, és próbálja újra.
- Ha a háromszög nem derékszögű háromszög, további információkra van szüksége, nem csak a másik két oldal hosszára.
- Az ellenőrzés másik módja - a leghosszabb oldal a legnagyobb szöggel szemben, a legrövidebb pedig a legkisebb szöggel szemben.
- Az ábrák a kulcsok az a, b és c helyes értékeinek leírásához. Ha egy történet problémáján dolgozik, mindenképpen írja le a problémát kép formájában.
- Ha csak az egyik oldal hosszát ismeri, a Pitagorasz -tétel nem működik. Próbálkozzon trigonometria (sin, cos, tan) vagy 30-60-90 / 45-45-90 arány használatával.
