A mátrixok determinánsát gyakran használják a számításban, a lineáris algebrában és a magasabb szintű geometriában. Az egyetemi körön kívül a számítógépes grafikus mérnökök és programozók állandóan mátrixokat és azok meghatározóit használják. Ha már tudja, hogyan kell meghatározni a 2x2 nagyságú mátrix determinánsát, akkor csak meg kell tanulnia, hogy mikor kell összeadást, kivonást és időt használni a 3x3 rendű mátrix determinánsának meghatározásához.
Lépés
Rész 1 /2: A determinánsok meghatározása
Írja fel a 3 x 3 rendelési mátrixot. Kezdjük a 3x3 rendű A mátrixszal, és megpróbáljuk megtalálni a | A | determinánst. Az alábbiakban bemutatjuk az általunk használt mátrix jelölés általános formáját és egy példát a mátrixunkra:
| a11 | a12 | a13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | a21 | a22 | a23 | = | 2 | 4 | 7 |
| a31 | a32 | a33 | 4 | 6 | 2 |
1. lépés Válasszon ki egy sort vagy oszlopot
Válassza ki a hivatkozási sort vagy oszlopot. Bármelyiket is választja, ugyanazt a választ fogja kapni. Ideiglenesen válassza ki az első sort. A következő részben adunk néhány javaslatot a legkönnyebben kiszámítható opció kiválasztásához.
Válassza ki az A. mintamátrix első sorát. Karikázza be a számot 1 5 3. A közös jelölésben körözze a11 a12 a13.
2. lépés Húzza át az első elem sorát és oszlopát
Nézze meg a körözött sort vagy oszlopot, és válassza ki az első elemet. Húzza át a sorokat és az oszlopokat. Csak 4 szám marad érintetlenül. Legyen ez a 4 szám 2 x 2 sorrendű mátrix.
- Példánkban a referenciasorunk 1 5 3. Az első elem az 1. sorban és az 1. oszlopban található. Húzza át a teljes 1. sort és az 1. oszlopot. Írja be a többi elemet 2 x 2 mátrixba:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
3. lépés Határozza meg a 2 x 2 rendű mátrix determinánsát
Ne feledje, határozza meg a mátrix determinánsát [ac bd] által ad - bc. Azt is megtanulhatod, hogy egy mátrix determinánsát úgy határozd meg, hogy X -et rajzolsz egy 2 x 2 -es mátrix közé. Szorozd meg az X egyenesével / összekapcsolt két számot. Ezután vond le a sorral összekapcsolt két szám hányszorosát / vannak. Ezzel a képlettel kiszámíthatja a 2 x 2 mátrix determinánsát.
- A példában a mátrix meghatározója [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Ezt a determináns ún kiskorú a kezdeti mátrixban kiválasztott elemek közül. Ebben az esetben most találtuk meg a kiskorúját11.
4. lépés Szorozza meg a talált számot a kiválasztott elemmel
Ne feledje, hogy a referenciasorból (vagy oszlopból) választott ki elemeket, amikor eldöntötte, hogy mely sorokat és oszlopokat kell kihúzni. Szorozzuk meg ezt az elemet a talált 2 x 2 mátrix determinánsával.
A példában a11 ami 1. Szorozzuk meg ezt a számot -34 -gyel (a 2 x 2 mátrix meghatározója), hogy 1*-34 = - 34.
5. lépés Határozza meg a válasz szimbólumát
A következő lépés az, hogy meg kell szoroznia a választ 1 -gyel vagy -1 -gyel, hogy megkapja kofaktor a kiválasztott elemből. A használt szimbólum attól függ, hogy az elemek hol vannak a 3 x 3 mátrixban. Ne feledje, hogy ez a szimbólumtábla az elem szorzójának meghatározására szolgál:
- + - +
- - + -
- + - +
- Mert mi választjuk a11 amelyet +jelölünk, a számot +1 -gyel megszorozzuk (vagy más szóval, ne változtassuk meg). A megjelenő válasz ugyanaz lesz, nevezetesen - 34.
- A szimbólum meghatározásának másik módja az (-1) képlet használata i+j ahol i és j sor- és oszlopelemek.
6. lépés Ismételje meg ezt a folyamatot a referenciasor vagy oszlop második eleméhez
Térjen vissza az eredeti 3 x 3 mátrixhoz, amelyben korábban körözte a sort vagy oszlopot. Ismételje meg ugyanezt a folyamatot az elemmel:
-
Húzza át az elem sorát és oszlopát.
Ebben az esetben válassza ki az a elemet12 (ami 5 -öt ér). Húzza át az 1. sort (1 5 3) és a 2. oszlopot (5 4 6).
-
A többi elemet 2x2 mátrixsá alakítsa.
Példánkban a második elem 2x2 rendű mátrixa [24 72].
-
Határozza meg ennek a 2x2 mátrixnak a determinánsát!
Használja az ad - bc képletet. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Szorozzuk meg a kiválasztott 3x3 mátrix elemeivel.
-24 * 5 = -120
-
Döntse el, hogy megszorozza -e a fenti eredményt -1 -gyel vagy sem.
Használjon szimbólumok vagy képletek táblázatát (-1)ij. Válassza ki a elemet12 szimbolizálva - a szimbólumtáblázatban. Cseréljük le a válasz szimbólumunkat: (-1)*(-120) = 120.
7. lépés: Ismételje meg ugyanezt a folyamatot a harmadik elemnél is
Még egy kofaktor van a determináns meghatározásához. Számolja az i -t a hivatkozási sor vagy oszlop harmadik elemére. Íme egy gyors módszer a kofaktor kiszámítására13 példánkban:
- Húzza át az 1. sort és a 3. oszlopot a [24 46].
- A determináns 2*6 - 4*4 = -4.
- Szorozzuk elemmel a13: -4 * 3 = -12.
- Elem a13 szimbólum + a szimbólumtáblában, tehát a válasz az - 12.
Lépés 8. Összeadja a három számlálás eredményét
Ez az utolsó lépés. Három kofaktorral számolt, egyet egy sor vagy oszlop minden elemére. Ha összeadja ezeket az eredményeket, megtalálja a 3 x 3 mátrix meghatározóját.
A példában a mátrix determinánsa az - 34 + 120 + - 12 = 74.
2. rész 2: A problémamegoldás megkönnyítése
1. lépés Válassza ki a legtöbb 0 -val rendelkező hivatkozási sort vagy oszlopot
Ne feledje, hogy bármelyik sort vagy oszlopot kiválaszthatja. Bármelyiket is választja, a válasz ugyanaz lesz. Ha a 0 számmal rendelkező sort vagy oszlopot választja ki, akkor csak a kofaktor kiszámítását kell elvégeznie olyan elemekkel, amelyek nem 0, mert:
- Például válassza ki a 2. sort, amely tartalmazza az a elemet21, a22, alap23. A probléma megoldásához 3 különböző 2 x 2 mátrixot használunk, mondjuk A -t21, A22, Te23.
- A 3x3 mátrix determinánsa a21| A21| - a22| A22| + a23| A23|.
- Ha egy22 alap23 értéke 0, a meglévő képlet a lesz21| A21| - 0*| A22| + 0*| A23| = a21| A21| - 0 + 0 = a21| A21|. Ezért csak egy elem kofaktorát számítjuk ki.
2. lépés. Használjon további sorokat a mátrixproblémák megkönnyítéséhez
Ha az értékeket egy sorból veszi, és hozzáadja egy másik sorhoz, a mátrix determinánsa nem változik. Ugyanez igaz az oszlopokra is. Ezt többször is megteheti, vagy megszorozhatja egy állandóval, mielőtt hozzáadja, hogy minél több 0 -t kapjon a mátrixban. Ezzel sok időt takaríthat meg.
- Például van egy 3 soros mátrixa: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Az a helyzetben lévő 9 szám kiküszöbölésére11, megszorozhatja a 2. sor értékét -3 -mal, és hozzáadhatja az eredményt az első sorhoz. Most az új első sor [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Az új mátrix sorai [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Ugyanezt a trükköt használja az oszlopokon a12 legyen 0.
Lépés 3. Háromszög mátrixokhoz használja a gyors módszert
Ebben a speciális esetben a meghatározó a főátlón lévő elemek szorzata, a11 a bal felső sarokban a33 a mátrix jobb alsó sarkában. Ez a mátrix még mindig 3x3 mátrix, de a "háromszög" mátrix speciális számmintával rendelkezik, amely nem 0:
- Felső háromszög mátrix: Minden elem, amely nem 0, a főátlón van vagy azon van. A főátló alatt minden szám 0.
- Alsó háromszög mátrix: Minden elem, amely nem 0, a főátlón van vagy alatta van.
- Átlós mátrix: Minden elem, amely nem 0, a főátlón van (a fenti mátrixtípusok részhalmaza).
Tippek
- Ha egy sor vagy oszlop összes eleme 0, akkor a mátrix determinánsa 0.
- Ez a módszer minden másodfokú mátrix méretére használható. Például, ha ezt a módszert használja 4x4 rendű mátrixhoz, akkor a "sztrájk" 3x3 rendű mátrixot hagy, amelynek determinánsát a fenti lépések végrehajtásával lehet meghatározni. Ne feledje, hogy ezt unalmas lehet!
