Négyzetrajz rajzolása: 10 lépés (képekkel)

2024 Szerző: Jason Gerald | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-02-01 14:13

Grafikus ábrázolás esetén a másodfokú egyenlet formája fejsze² + bx + c vagy a (x - h)² + k alkossuk meg az U betűt vagy egy fordított U görbét, amelyet parabolanak nevezünk. A másodfokú egyenlet ábrázolása keresi a csúcsot, az irányt, és gyakran az x és y metszéspontot. Elég egyszerű másodfokú egyenletek esetén elegendő lehet x értékhalmaz megadása és a görbe ábrázolása a kapott pontok alapján. A kezdéshez lásd az alábbi 1. lépést.

Lépés

1. lépés Határozza meg a másodfokú egyenlet formáját

A másodfokú egyenletek három különböző formában írhatók fel: általános forma, csúcsforma és másodfokú forma. Másodfokú egyenletek ábrázolására bármilyen formát használhat; az egyes gráfok ábrázolásának folyamata kissé eltér. Ha házi feladatot végez, általában a két forma egyikében kap kérdéseket - más szóval, nem tud választani, ezért a legjobb, ha mindkettőt megérti. A másodfokú egyenlet két formája:

• Általános forma.

  Ebben a formában a másodfokú egyenletet így írjuk fel: f (x) = ax² + bx + c ahol a, b és c valós számok, és a nem nulla.

  Például két általános alakú másodfokú egyenlet: f (x) = x² + 2x + 1 és f (x) = 9x² + 10x -8.

• Csúcsforma.

  Ebben a formában a másodfokú egyenletet a következőképpen írjuk fel: f (x) = a (x - h)² + k ahol a, h és k valós számok, és a nem nulla. Ezt csúcsformának nevezik, mert h és k azonnal megadja a parabola csúcspontját (középpontját) a (h, k) pontban.

  A két csúcsforma egyenlet f (x) = 9 (x - 4)² + 18 és -3 (x - 5)² + 1

• Bármilyen típusú egyenlet ábrázolásához először meg kell találnunk a parabola csúcsát, amely a görbe végén lévő középpont (h, k). Az általános alakú csúcsok koordinátáit a következőképpen kell kiszámítani: h = -b/2a és k = f (h), míg csúcsformában h és k szerepelnek az egyenletben.

2. lépés. Határozza meg a változókat

A másodfokú feladat megoldásához általában meg kell határozni az a, b és c változókat (vagy a, h és k). Egy közönséges algebrafeladat másodfokú egyenletet ad a rendelkezésre álló változókkal, általában általános formában, de néha csúcsformában.

• Például f (x) = 2x általános alakú egyenlethez² + 16x + 39, akkor a = 2, b = 16 és c = 39.
• A csúcsforma egyenlethez f (x) = 4 (x - 5)² + 12, a = 4, h = 5 és k = 12.

3. lépés Számítsa ki a h értéket

A csúcsforma egyenletben a h érték már megadva, de az általános alakú egyenletben a h értéket kell kiszámítani. Ne feledje, hogy általános alakú egyenletek esetén h = -b/2a.

• Általános példánkban (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Megoldás után azt találjuk, hogy h = - 4.
• A csúcsformánk példájában (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), tudjuk, hogy h = 5 matematika nélkül.

4. lépés Számítsa ki a k -t

A h -hoz hasonlóan k már a csúcsforma egyenletében is ismert. Az általános alakú egyenleteknél ne feledje, hogy k = f (h). Más szóval, megtalálja a k -t, ha az egyenlet összes x értékét lecseréli az imént talált h értékekre.

• Általános alakpéldánkban már megállapítottuk, hogy h = -4. A k megtalálásához oldjuk meg egyenletünket úgy, hogy x helyére bedugjuk a h értékünket:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    7. lépés.

• A csúcsforma példánkban ismét tudjuk a k értékét (ami 12), anélkül, hogy számolnunk kellene.

5. lépés. Rajzolja le a csúcsát

A parabola csúcsa a pont (h, k)-h az x-koordinátát, míg k az y-koordinátát jelenti. A csúcs a parabola középpontja - vagy az U alján, vagy a fordított U tetején. A csúcsok ismerete fontos része a pontos parabola rajzolásának - gyakran az iskolai munkában a csúcs meghatározása az a rész, amelyet meg kell keresni egy kérdésben.

• Általános forma példánkban a csúcsunk (-4, 7). Így parabolank 4 lépés balra csúcsosodik 0 és 7 lépés felett (0, 0). Ezt a pontot ábrázolnunk kell a grafikonunkon, feltétlenül jelöljük meg a koordinátákat.
• A csúcsforma példánkban a csúcsunk (5, 12). Meg kell rajzolnunk egy pontot 5 lépéssel jobbra és 12 lépéssel fölé (0, 0).

6. lépés. Rajzolja fel a parabola tengelyét (opcionális)

A parabola szimmetriatengelye egy vonal, amely átmegy a középpontján, és pontosan középen osztja el. Ezen a tengelyen a parabola bal oldala tükrözi a jobb oldalt. Másodfokú egyenletekhez ax alakban² + bx + c vagy a (x - h)² + k, a szimmetriatengely az az egyenes, amely párhuzamos az y tengelyével (más szóval pontosan függőleges) és áthalad a csúcson.

Általános formapéldánk esetében a tengely az y tengelykel párhuzamos és a ponton átmenő egyenes (-4, 7). Annak ellenére, hogy nem része a parabolának, vékonyan megjelölve ezt a vonalat a grafikonon, végül is látni fogja a parabola görbéjének szimmetrikus alakját

7. lépés Keresse meg a parabola nyílásának irányát

Miután ismerjük a parabola csúcsát és tengelyét, utána tudnunk kell, hogy a parabola kinyílik -e vagy lefelé. Szerencsére ez könnyű. Ha az a értéke pozitív, akkor a parabola felfelé nyílik, míg ha az értéke negatív, akkor a parabola lefelé nyílik (azaz a parabola megfordul).

• Általános formapéldánkhoz (f (x) = 2x² + 16x + 39), tudjuk, hogy van egy parabola, amely megnyílik, mert egyenletünkben a = 2 (pozitív).
• Példánk a csúcsformánkhoz (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), tudjuk, hogy van egy parabola is, amely megnyílik, mert a = 4 (pozitív).

8. lépés Ha szükséges, keresse meg és rajzolja meg az x-metszést

Gyakran előfordul, hogy az iskolai feladatokban megkérik, hogy keresse meg a parabola x-metszetét (ez egy vagy két pont, ahol a parabola találkozik az x tengelykel). Még ha nem is talál egyet, ez a két pont nagyon fontos a pontos parabola rajzolásához. Azonban nem minden parabola rendelkezik x-metszéssel. Ha a parabola csúcsa kinyílik és csúcsa az x tengely felett van, vagy ha lefelé nyílik és csúcsa az x tengely alatt van, a parabolanak nem lesz x-metszete. Ellenkező esetben oldja meg x-elfogását az alábbi módok egyikével:

• Tegyük fel, hogy f (x) = 0, és oldjuk meg az egyenletet. Ez a módszer használható egyszerű másodfokú egyenletekhez, különösen csúcsformában, de összetett egyenletek esetén nagyon nehéz lesz. Példát lásd alább

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Gyökér (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 és 13 a parabola x-metszete.

• Faktorálja az egyenletét. Néhány egyenlet ax alakban² A + bx + c könnyen beépíthető a (dx + e) (fx + g) formába, ahol dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx és e × g = c. Ebben az esetben az x-intercepciói x értékek, amelyek bármely zárójelben lévő kifejezést = 0. Például:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Ebben az esetben az egyetlen x -metszésed -1, mert az x egyenlővé tétele -1 -gyel a zárójelben lévő bármely tényezőt 0 -val egyenlővé teszi.

• Használja a másodfokú képletet. Ha nem tudja könnyen megoldani az x-metszéspontját vagy tényezőjét az egyenletnek, akkor használjon egy erre a célra létrehozott másodfokú képletnek nevezett speciális egyenletet. Ha még nem oldódott meg, alakítsa át egyenletét ax alakúra² + bx + c, majd írja be az a, b és c értékeket az x = (-b +/- sqrt (b) képletbe² - 4ac))/2a. Ne feledje, hogy ez a módszer gyakran két választ ad az x értékére, ami rendben van-ez csak azt jelenti, hogy a parabola két x-metszéssel rendelkezik. Példát lásd alább:

  • -5x² A + 1x + 10 a következő másodfokú képletbe kerül:
  • x = (-1 +/- gyök (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- gyök (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- gyök (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) és (-15, 18/-10). A parabola x-metszete x = - 1, 318 és 1, 518
  • Korábbi példánk az általános formára, 2x² A+16x+39 a következőképpen kerül a másodfokú képletbe:
  • x = (-16 +/- gyök (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- gyök (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- gyök (-56)/-10
  • Mivel lehetetlen megtalálni a negatív szám négyzetgyökét, tudjuk, hogy ez a parabola nincs x-elfogása.

9. lépés. Ha szükséges, keresse meg és rajzolja meg az y-metszést

Bár gyakran nem szükséges az y-metszetet egyenletekben keresni (az a pont, ahol a parabola átmegy az y tengelyen), lehet, hogy végül meg kell találnia, különösen, ha iskolában van. A folyamat meglehetősen egyszerű-csak x = 0, majd oldja meg f (x) vagy y egyenletét, amely megadja y értékét, ahol a parabola áthalad az y tengelyen. Az x-metszettel ellentétben egy szabályos parabolának csak egy y-metszete lehet. Megjegyzés-általános alakú egyenletek esetén az y-metszés y = c.

• Például tudjuk, hogy másodfokú egyenletünk 2x² A + 16x + 39 y-metszéssel rendelkezik y = 39-nél, de megtalálható a következő módon is:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. A parabola y-metszete a y = 39.

    Amint fentebb megjegyeztük, az y-metszéspont y = c.

• A csúcs egyenletünk formája 4 (x - 5)² A + 12 y-metszéssel rendelkezik, amely a következő módon található:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. A parabola y metszete at y = 112.

10. lépés Ha szükséges, rajzoljon további pontokat, majd rajzoljon egy grafikont

Most megvan a csúcs, az irány, az x-metszés és esetleg az y-metszés az egyenletében. Ebben a szakaszban megpróbálhatja megrajzolni a parabolaját a rendelkezésére álló pontok segítségével, vagy más pontokat kereshet a parabola kitöltéséhez, hogy a rajzolt görbe pontosabb legyen. Ennek legegyszerűbb módja, ha egyszerűen beír néhány x-értéket a csúcs bármelyik oldalára, majd ábrázolja ezeket a pontokat a kapott y-értékek használatával. Gyakran a tanárok azt kérik, hogy nézzen meg néhány pontot, mielőtt megrajzolja a parabolaját.

• Tekintsük át az x egyenletet² + 2x + 1. Már tudjuk, hogy az x -metszés csak x = -1 -nél van. Mivel a görbe csak egy ponton érinti az x-metszést, arra a következtetésre juthatunk, hogy a csúcs az x-metszete, ami azt jelenti, hogy a csúcs (-1, 0). Valójában csak egy pontunk van ehhez a parabolahoz - ez nem elég egy jó parabola rajzolásához. Keressünk néhány más pontot, hogy biztosan alapos grafikont rajzoljunk.

  • Keressük meg az y értékeket a következő x értékekhez: 0, 1, -2 és -3.
  • 0 esetén: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. A mi pontunk az (0, 1).

  • 1 esetén: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. A lényeg az (1, 4).

  • -2 esetén: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. A mi pontunk az (-2, 1).

  • -3 esetén: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. A mi pontunk az (-3, 4).

  • Rajzolja fel ezeket a pontokat a grafikonra, és rajzolja meg az U alakú görbéjét. Ne feledje, hogy a parabola tökéletesen szimmetrikus - ha a parabola egyik oldalán lévő pontok egész számok, akkor általában csökkentheti azt a munkát, hogy egyszerűen csak tükröz egy adott pontot a parabola szimmetriatengelyén, és megtalálja ugyanazt a pontot a parabola másik oldalán.

Tippek

• Kerekítse a számokat, vagy használjon törteket az algebrai tanár kérésének megfelelően. Ez segít jobban ábrázolni a másodfokú egyenletet.
• Megjegyezzük, hogy f (x) = ax² + bx + c, ha b vagy c nulla, akkor ezek a számok eltűnnek. Például 12x² + 0x + 6 12x lesz² + 6, mert a 0x 0.