Minden függvénynek két változója van, nevezetesen a független és a függő változó. Szó szerint a függő változó értéke "függ" a független változótól. Például az y = f (x) = 2 x + y függvényben x a független változó, és y a függő változó (más szóval y az x függvénye). Az ismert x változó érvényes értékeit "származási tartományoknak" nevezzük. Az ismert y változó érvényes értékeit „eredménytartománynak” nevezzük.
Lépés
Rész 1 /3: Funkció tartományának megkeresése
1. lépés Döntse el, hogy milyen típusú funkciót fog végrehajtani
A függvény tartománya minden x-érték (vízszintes tengely), amely érvényes y-értékeket ad vissza. A függvény egyenlete lehet másodfokú, tört vagy gyök. A függvény tartományának kiszámításához először meg kell vizsgálnia az egyenlet változóit.
- A másodfokú függvény ax alakú2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Példák a törtekkel rendelkező függvényekre: f (x) = (1/x), f (x) = (x+1)/(x - 1), és mások.
- A gyökerekkel rendelkező függvények a következők: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x stb.
2. lépés. Írja le a tartományt megfelelő jelöléssel
A függvény tartományának írása magában foglalja a szögletes zárójelet [,], valamint a zárójelet (,). Használjon szögletes zárójelet [,], ha a szám a tartományhoz tartozik, és zárójelet (,), ha a tartomány nem tartalmazza a számot. Az U betű olyan uniót jelöl, amely összeköti a tartomány azon részeit, amelyeket távolság választhat el egymástól.
- Például a [-2, 10) U (10, 2] tartománya -2 és 2, de nem tartalmazza a 10 számot.
- Mindig használjon zárójelet (), ha a végtelen szimbólumot használja.
Lépés 3. Rajzolja fel a másodfokú egyenlet grafikonját
A másodfokú egyenletek egy parabolikus gráfot állítanak elő, amely felfelé vagy lefelé nyílik. Tekintettel arra, hogy a parabola az x tengelyen végtelenül folytatódik, a legtöbb másodfokú egyenlet tartománya minden valós szám. Más szóval, a másodfokú egyenlet tartalmazza a számegyenes összes x-értékét, megadva a tartományt R (minden valós szám szimbóluma).
- A függvény megoldásához válasszon bármilyen x-értéket, és írja be a függvénybe. Egy x-értékű függvény megoldása y-értéket ad vissza. Az x és y értékek a függvény grafikonjának (x, y) koordinátái.
- Ábrázolja ezeket a koordinátákat egy grafikonon, és ismételje meg a folyamatot egy másik x-értékkel.
- A modell néhány értékének ábrázolása áttekintést nyújt a másodfokú függvény alakjáról.
4. lépés. Ha a függvény egyenlete tört, akkor a nevezőt nullával egyenlővé tesszük
Törtekkel dolgozva soha nem lehet osztani nullával. Ha a nevezőt nullával egyenlővé tesszük, és megtaláljuk az x értékét, kiszámíthatjuk a függvényből kivonandó értékeket.
- Például: Határozza meg az f (x) = függvény tartományát (x+1)/(x - 1).
- A függvény nevezője (x - 1).
- Tegyük a nevezőt nullával egyenlővé, és számítsuk ki x értékét: x - 1 = 0, x = 1.
- Írja le a tartományt: A függvény tartománya nem tartalmaz 1 -et, de az összes valós számot tartalmazza, kivéve az 1 -et; ezért a tartomány (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) Az U (1,) az 1 kivételével az összes valós szám gyűjteményeként olvasható. A végtelen szimbóluma,, minden valós számot jelent. Ebben az esetben minden 1 -nél nagyobb és 1 -nél kisebb valós szám szerepel a tartományban.
5. lépés. Ha az egyenlet gyökfüggvény, tegye a gyökérváltozókat nullánál nagyobbra vagy egyenlővé
Nem használhatja a negatív szám négyzetgyökét; ezért minden x-értéket, amely negatív számhoz vezet, el kell távolítani a függvény tartományából.
- Például: Keresse meg az f (x) = (x + 3) függvény tartományát.
- A gyök változói (x + 3).
- Tegye az értéket nagyobbra vagy egyenlőre nullával: (x + 3) 0.
- Számítsa ki az x értékét: x -3. Oldja meg x -re: x -3.
- A függvény tartománya minden valós számot tartalmaz, amely nagyobb vagy egyenlő -3; ezért a tartomány [-3,).
2. rész a 3 -ból: A másodfokú egyenlet tartományának megkeresése
1. lépés. Győződjön meg arról, hogy másodfokú függvénye van
A másodfokú függvény ax alakú2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. A másodfokú függvény grafikonja egy felfelé vagy lefelé nyíló parabola. A függvény tartományának kiszámítása különböző módokon lehetséges, attól függően, hogy milyen típusú funkción dolgozik.
A legegyszerűbb módja annak, hogy meghatározzuk más függvények tartományát, például egy gyökérfüggvényt vagy egy törtfüggvényt, ha grafikon segítségével ábrázoljuk a függvényt
2. lépés. Keresse meg a függvény csúcsának x-értékét
A másodfokú függvény csúcsa a parabola csúcsa. Ne feledje, a másodfokú függvény alakja ax2 + bx + c. Az x -koordináta megkereséséhez használja az x = -b/2a egyenletet. Az egyenlet egy alapfokú másodfokú függvény származéka, amely egy nulla meredekségű/meredekségű egyenletet ábrázol (a gráf csúcsán a függvény gradiense nulla).
- Például keresse meg a 3x tartományt2 + 6x -2.
- Számítsa ki a csúcs x -koordinátáját: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Lépés 3. Számítsa ki a függvény csúcsának y-értékét
Csatlakoztassa az x-koordinátát a függvényhez a csúcs megfelelő y-értékének kiszámításához. Ez az y-érték a függvény tartományának határát jelzi.
- Számítsa ki az y-koordinátát: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Ennek a függvénynek a csúcsa (-1, -5).
4. lépés Határozza meg a parabola irányát legalább egy további x érték behelyezésével
Válasszon bármilyen más x-értéket, és csatlakoztassa a függvényhez a megfelelő y-érték kiszámításához. Ha az y-érték a csúcs felett van, a parabola +∞-ig folytatódik. Ha az y -érték a csúcs alatt van, a parabola -∞ -ig folytatódik.
- Használjon x értéket -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Ez a számítás visszaadja a koordinátákat (-2, -2).
- Ezek a koordináták azt mutatják, hogy a parabola a csúcs felett folytatódik (-1, -5); ezért a tartomány magában foglal minden y -értéket, amely magasabb, mint -5.
- Ennek a függvénynek a tartománya [-5,).
5. lépés Írja le a tartományt megfelelő jelöléssel
A tartományokhoz hasonlóan a tartományok azonos jelöléssel vannak írva. Használjon szögletes zárójelet [,], ha a szám a tartományban van, és használjon zárójelet (,), ha a tartomány nem tartalmazza a számot. Az U betű azt az egyesülést jelöli, amely összeköti a tartomány azon részeit, amelyeket távolság választhat el egymástól.
- Például a [-2, 10) U (10, 2] tartomány -2 és 2, de nem tartalmazza a 10 számot.
- Mindig zárójelet használjon, ha a végtelen szimbólumot használja.
Rész 3 /3: A tartomány megtalálása egy függvény grafikonjából
1. lépés. Rajzolja le a függvényt
Gyakran a függvény tartományának meghatározása a legegyszerűbb módszer a grafikon segítségével. Sok gyökfüggvénynek van tartománya (-∞, 0] vagy [0, +∞), mivel a vízszintes parabola (oldalirányú parabola) csúcsa a vízszintes x tengelyen van. Ebben az esetben a függvény minden pozitív y-értéket tartalmaz, ha a parabola kinyílik, vagy minden negatív y-értéket, ha a parabola lefelé nyílik. A törtfunkcióknak aszimptotáik lesznek (olyan vonalak, amelyeket soha nem vág egyenes vagy görbe, de a végtelenhez közelítünk), amelyek meghatározzák a függvény tartományát.
- Néhány gyökérfunkció az x tengely felett vagy alatt indul. Ebben az esetben a tartományt az a szám határozza meg, ahol a gyökérfunkció elindul. Ha a parabola y = -4 -nél kezdődik és felfelé megy, akkor a tartomány [-4, +∞).
- A függvény rajzolásának legegyszerűbb módja egy grafikus program vagy grafikus számológép használata.
- Ha nincs grafikus számológépe, akkor rajzolhat egy durva vázlatot a gráfról úgy, hogy az x-értéket bekapcsolja a függvénybe, és megkapja a megfelelő y-értéket. Ábrázolja ezeket a koordinátákat egy grafikonon, hogy képet kapjon arról, hogyan néz ki a grafikon.
2. lépés. Keresse meg a függvény minimális értékét
A függvény rajzolása után azonnal látnia kell a grafikon legalsó pontját. Ha nincs egyértelmű minimális érték, tudd, hogy egyes funkciók -∞ (végtelen) értéken folytatódnak.
A törtfüggvény minden pontot tartalmaz, kivéve az aszimptotákon lévőket. A függvény tartománya (-∞, 6) U (6,)
3. lépés. Határozza meg a függvény maximális értékét
Ismét, a grafikon megrajzolása után képesnek kell lennie azonosítani a függvény maximális pontját. Egyes funkciók +∞ -nál folytatódnak, ezért nem rendelkeznek minimális értékkel.
4. lépés Írja be a tartományt megfelelő jelöléssel
A tartományokhoz hasonlóan a tartományokat is ugyanazzal a jelöléssel írják. Használjon szögletes zárójelet [,], ha a szám a tartományban van, és használjon zárójelet (,), ha a tartomány nem tartalmazza a számot. Az U betű azt az egyesülést jelöli, amely összeköti a tartomány azon részeit, amelyeket távolság választhat el egymástól.
- Például a [-2, 10) U (10, 2] tartomány -2 és 2, de nem tartalmazza a 10 számot.
- Mindig zárójelet használjon, ha a végtelen szimbólumot használja.
