A távolság, amelyet gyakran az „s” változónak adnak, a tér mérése, amely két pont közötti egyenes. A távolság utalhat két mozgathatatlan pont közötti térre (például egy személy magassága a láb aljától a fej tetejéig terjedő távolság), vagy a mozgásban lévő tárgy aktuális helyzete és a a kezdeti hely, ahol az objektum mozogni kezdett. A legtöbb távolságfeladat megoldható az egyenlettel s = v × t, ahol s a távolság, v az átlagos sebesség, és t az idő, vagy a s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2), ahol (x1, y1) és (x2, y2) a két pont x és y koordinátái.
Lépés
1/2 módszer: A távolság kiszámítása átlagos sebességgel és idővel
1. lépés. Keresse meg az átlagos sebesség- és időértékeket
Amikor megpróbálja kiszámítani a mozgó tárgy megtett távolságát, két információ fontos a számításhoz: sebesség (vagy sebesség) és idő hogy a mozgó tárgy elutazott. Ezekkel az információkkal ki lehet számítani az objektum által megtett távolságot az s = v × t képlet segítségével.
A távolságképlet használatának jobb megértése érdekében oldjunk meg egy példafeladatot ebben a részben. Tegyük fel, hogy egy úton haladunk 120 mérföld / óra sebességgel (kb. 193 km / óra), és szeretnénk tudni, hogy fél óra alatt mennyit tudunk megtenni. Használat 120 mérföld óránként mint az átlagos sebesség értéke és 0,5 óra az idő értékeként ezt a problémát a következő lépésben oldjuk meg.
2. lépés Szorozzuk meg az átlagsebességet az idővel
Miután ismeri a mozgó tárgy átlagos sebességét és a megtett időt, a megtett távolság kiszámítása viszonylag egyszerű. Csak szorozza meg a két értéket, hogy megtalálja a választ.
- Ne feledje azonban, hogy ha az átlagos sebességértékben használt időegység eltér az időértékben használt időegységtől, akkor egyet kell módosítania. Például, ha az átlagos sebességet km -ben és óránként mértük, akkor az időt 60 -zal kell osztani, hogy órákká alakítsuk át.
- Fejezzük be példaproblémánkat. 120 mérföld/óra × 0,5 óra = 60 mérföld. Ne feledje, hogy az időértékben (óra) mértékegységek kihagyják az átlagos sebesség (óra) nevezőjét, és csak a távolság mértékegységeit (mérföld) hagyják.
Lépés 3. Módosítsa az egyenletet egy másik változó kiszámításához
Az alapvető távolság -egyenlet egyszerűsége (s = v × t) megkönnyíti az egyenlet használatát a távolságtól eltérő változó értékének megtalálására. Csak izolálja a keresni kívánt változót az algebra alapvető szabályai szerint, majd adja meg a másik két változó értékeit, hogy megtalálja a harmadik változó értékét. Más szóval, az objektum átlagos sebességének kiszámításához használja az egyenletet v = s/t és az objektum által eltelt idő kiszámításához használja az egyenletet t = sz/v.
- Tegyük fel például, hogy tudjuk, hogy egy autó 60 mérföldet tett meg 50 perc alatt, de nincs értékünk az átlagos sebességre, amikor a tárgy mozog. Ebben az esetben elkülöníthetjük a v változót az alapvető távolság egyenletben, hogy v = d/t kapjunk, majd csak osszunk el 60 mérföld/50 percet, hogy megkapjuk a választ 1,2 mérföld/perc.
- Vegye figyelembe, hogy a példában a sebességre adott válasz szokatlan mértékegységgel (mérföld/perc) rendelkezik. Ahhoz, hogy választ kapjon a gyakoribb mérföld/órában, szorozza meg 60 perccel/órával, hogy megkapja az eredményt 72 mérföld/óra.
4. lépés. Vegye figyelembe, hogy a távolság képletében a „v” változó az átlagos sebességre vonatkozik
Fontos megérteni, hogy az alapvető távolságképlet egyszerűsített képet nyújt az objektum mozgásáról. A távolságképlet feltételezi, hogy a mozgásban lévő tárgy állandó sebességgel rendelkezik - más szóval azt feltételezi, hogy a mozgásban lévő tárgy egyetlen, változatlan sebességgel rendelkezik. Az absztrakt matematikai feladatoknál, például azoknál, amelyekkel akadémiai környezetben találkozhat, néha még mindig lehetséges modellezni egy objektum mozgását ezzel a feltételezéssel. Azonban a való életben ezek a példák gyakran nem tükrözik pontosan a mozgó tárgyak mozgását, ami valójában idővel felgyorsíthatja, lelassíthatja, megállíthatja és megfordíthatja.
- Például a fenti példaproblémában arra a következtetésre jutottunk, hogy 50 perc alatt 60 mérföld megtételéhez 72 mérföld / óra sebességgel kell utaznunk. Ez azonban csak akkor igaz, ha az egész utazás során egy sebességgel halad. Például, ha az út felén 80 mérföld/óra sebességgel, a fennmaradó felén pedig 64 mérföld/órával utazunk, akkor is 50 mérföldet teszünk meg 50 perc alatt - 72 mérföld/óra = 60 mérföld/50 perc = ?????
- A kalkulus alapú megoldások, amelyek deriváltokat használnak, gyakran jobb választást jelentenek, mint a távolságképletek az objektum sebességének valós helyzetekben történő meghatározására, mivel a sebesség változása lehetséges.
2. módszer 2 -ből: A két pont közötti távolság kiszámítása
1. lépés. Keresse meg a két pont két térbeli koordinátáját
Mi van, ha a mozgó tárgy megtett távolságának kiszámítása helyett két mozdulatlan tárgy közötti távolságot kell kiszámítania? Ilyen esetben a fent leírt sebesség alapú távolságképlet nem fog működni. Szerencsére két távolság képlettel könnyen kiszámítható a két pont közötti egyenes távolság. Ennek a képletnek a használatához azonban ismernie kell a két pont koordinátáit. Ha egydimenziós távolságokat kezel (mint egy számegyenesen), a koordináták két számból állnak, x1 és x2. Ha két dimenzióban kezeli a távolságokat, akkor két értékre lesz szüksége (x, y), (x1, y1) és (x2, y2). Végül három dimenzióhoz szüksége lesz az értékre (x1, y1, z1) és (x2, y2, z2).
2. lépés. Számítsa ki az egydimenziós távolságot két pont koordináta-értékeinek kivonásával
Könnyű kiszámítani az egydimenziós távolságot két pont között, ha már ismeri az egyes pontok értékét. Csak használja a képletet s = | x2 - x1|. Ebben a képletben kivonja az x -et1 x -től2, majd vegye a válasz abszolút értékét az x közötti távolság megkereséséhez1 és x2. Általában az egydimenziós távolság képletét kell használni, ha a két pont egy egyenes vagy számtengely.
- Vegye figyelembe, hogy ez a képlet abszolút értékeket használ (szimbólum " | |Az abszolút érték csak azt jelenti, hogy a szimbólumon belüli érték pozitív lesz, ha negatív.
-
Tegyük fel például, hogy megállunk az út szélén egy tökéletesen egyenes autópályán. Ha van egy város 5 mérfölddel előttünk, és egy másik város 1 mérfölddel mögöttünk, milyen messze van a két város? Ha az 1 -es várost x -nek állítjuk be1 = 5 és a város 2 mint x1 = -1, kiszámíthatjuk a két város közötti távolságot, s:
- s = | x2 - x1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 mérföld.
Lépés 3. Számítsa ki a kétdimenziós távolságot a Pitagorasz-tétel segítségével
A kétdimenziós tér két pontja közötti távolság kiszámítása bonyolultabb, mint az egydimenziós, de nem nehéz. Csak használja a képletet s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2). Ebben a képletben kivonjuk a két x-koordinátát, kiszámítjuk a négyzetgyököt, kivonjuk a két y-koordinátát, kiszámítjuk a négyzetgyököt, majd összeadjuk a két eredményt, és kiszámítjuk a négyzetgyököt, hogy megtaláljuk a két pont közötti távolságot. Ez a képlet kétdimenziós síkra vonatkozik - például egy szabályos x/y gráfra.
- A kétdimenziós távolság képlete a Pitagorasz-tételt használja, amely szerint a jobb oldali háromszög hipotenuszának hossza megegyezik a másik két oldal négyzetének négyzetgyökével.
- Tegyük fel például, hogy két pontunk van az x -y síkban: (3, -10) és (11, 7), amelyek egy kör középpontját, illetve egy pontját jelzik a körön. A két pont közötti egyenes távolság kiszámításához a következő módon számíthatjuk ki:
- s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
4. lépés. A háromdimenziós távolság kiszámítása a kétdimenziós távolság képletének megváltoztatásával
Három dimenzióban a pontok z koordinátákkal rendelkeznek az x és y koordináták mellett. A háromdimenziós tér két pontja közötti távolság kiszámításához használja a s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2). Ez a fent leírt kétdimenziós távolságképlet módosított formája, amely tartalmazza a z-koordinátát. A két z-koordináta kivonása, a négyzetgyök kiszámítása és a képlet többi részének folytatása biztosítja, hogy a végső válasz a két pont közötti háromdimenziós távolságot fogja képviselni.
- Tegyük fel például, hogy űrhajósok vagyunk, akik két aszteroida között lebegnek az űrben. Az egyik aszteroida körülbelül 8 km -re van előtte, 2 km -re jobbra és 5 km -re alattunk, míg a másik körülbelül 3 km -re van mögöttünk, 3 km -re balra és 4 km -re felettünk. Ha a két aszteroida helyzetét a (8, 2, -5) és (-3, -3, 4) koordinátákkal ábrázoljuk, akkor a következő módon kiszámíthatjuk a köztük lévő távolságot:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
