A vektor olyan fizikai mennyiség, amelynek nagysága és iránya is van (pl. Sebesség, gyorsulás és elmozdulás), szemben a skalárral, amely csak nagyságrendből áll (pl. Sebesség, távolság vagy energia). Ha a skalárokat nagyságok hozzáadásával lehet hozzáadni (pl. 5 kJ munka plusz 6 kJ munka 11 kJ munkával egyenlő), akkor a vektorokat kicsit bonyolult összeadni vagy kivonni. Lásd az alábbi 1. lépést, hogy megtudjon néhány módszert a vektorok összeadására vagy kivonására.
Lépés
1. módszer a 3 -ból: Vektorok hozzáadása és kivonása, amelyek összetevői ismertek
1. lépés Írja le a vektor dimenziós összetevőit vektoros jelöléssel
Mivel a vektoroknak nagyságrendjük és irányuk van, általában az x, y és/vagy z méretek alapján részekre bonthatók. Ezeket a méreteket általában hasonló jelöléssel írják le, hogy leírjanak egy pontot egy koordináta -rendszerben (pl. És mások). Ha ismeri ezt a részt, a vektorok összeadása vagy kivonása nagyon egyszerű, csak adja hozzá vagy vonja le az x, y és z koordinátáikat.
- Figyeljük meg, hogy a vektor mérete 1, 2 vagy 3. Így a vektor tartalmazhat x, x és y, vagy x, y és z komponenseket. A következő példánk háromdimenziós vektort használ, de a folyamat olyan, mint egy vagy kétdimenziós vektor.
- Tegyük fel, hogy van két háromdimenziós vektorunk, az A vektor és a B vektor. Ezeket a vektorokat vektor jelöléssel írhatjuk, például A = és B =, ahol a1 és a2 x komponens, b1 és b2 y komponens, valamint c1 és c2 komponensek z.
2. lépés. A két vektor hozzáadásához adja hozzá azok összetevőit
Ha egy vektor két összetevője ismert, akkor hozzáadhatja a vektorokat mindegyik összetevőjének hozzáadásával. Más szóval, adja hozzá az első vektor x-komponensét a második vektor x-komponenséhez, és tegye ugyanezt y és z esetén. A válasz, amelyet ezen vektorok x, y és z komponenseinek összeadásával kap, az új vektor x, y és z komponense.
- Általánosságban, A+B =.
- Adjunk hozzá két A és B vektort. A = és B =. A + B =, vagy.
3. lépés. Mindkét vektor kivonásához vonja le azok összetevőit
Amint azt később tárgyaljuk, az egyik vektor kivonása a másikból úgy tekinthető, mint a kölcsönös vektorok hozzáadása. Ha mindkét vektor komponensei ismertek, lehetséges az egyik vektor kivonása a másikból az első komponens kivonásával a második komponensből (vagy mindkettő negatív összetevőinek hozzáadásával).
- Általánosságban, A-B =
- Vonjunk le két A és B vektort. A = és B =. A - B =, vagy.
2. módszer a 3 -ból: Összeadás és kivonás képekkel a fej és farok módszerrel
1. lépés. Szimbolizálja a vektort a fej és a farok segítségével
Mivel a vektoroknak nagyságuk és irányuk is van, mondhatjuk, hogy farka és feje van. Más szóval, egy vektornak van egy kiindulópontja és egy végpontja, amely jelzi a vektor irányát, amelynek távolsága a kiindulási ponttól megegyezik a vektor nagyságával. Rajzoláskor a vektor nyíl alakot ölt. A nyíl hegye a vektor feje, a vektorvonal vége pedig a farok.
Ha méretekkel rendelkező vektoros rajzot készít, pontosan meg kell mérnie és meg kell rajzolnia az összes sarkot. A kép rossz szöge befolyásolja az eredményt, ha két vektort adnak hozzá vagy vonnak le ezzel a módszerrel
2. lépés. A második vektor hozzáadásához, rajzolásához vagy mozgatásához úgy, hogy a farok találkozzon az első vektor fejével
Ezt fej -farokvektorok kombinálásának nevezik. Ha csak két vektort ad össze, a következőket kell tennie, mielőtt megtalálná a kapott vektort.
Vegye figyelembe, hogy a vektorok hozzáadásának sorrendje nem számít, ha ugyanazt a kiindulópontot használja. A vektor + B vektor = B vektor + A Veltor A
3. lépés. A kivonáshoz adjunk negatív jelet a vektorhoz
A vektorok csökkentése képek segítségével nagyon egyszerű. Fordítsa meg a vektor irányát, de tartsa változatlanul a nagyságot, és add hozzá a vektor fejét és a farkát a szokásos módon. Más szóval, egy vektor kivonásához forgassa el a vektort 180o és összeadni.
4. lépés Ha kettőnél több vektort ad hozzá vagy von le, egyesítse az összes vektort fej-far sorrendben
Az egyesítés sorrendje nem számít. Ez a módszer a vektorok számától függetlenül használható.
5. lépés. Rajzoljon egy új vektort az első vektor farkától az utolsó vektor fejéig
Akár két, akár száz vektor összeadását/kivonását végzi, az a vektor, amely a kezdeti kezdőponttól (az első vektor farkától) az utolsó vektor végpontjáig (az utolsó vektor feje) terjed ki vagy az összes vektor összege. Vegye figyelembe, hogy ez a vektor pontosan ugyanaz, mint az összes x, y és/vagy z komponens összeadásával kapott vektor.
- Ha az összes vektort méretre rajzolja, az összes szöget helyesen mérve, a hossz mérésével meghatározhatja a kapott vektor nagyságát. Az eredmény és bármely vektor közötti szöget vízszintesen vagy függőlegesen is meg lehet mérni annak irányának meghatározásához.
- Ha nem rajzolja meg minden vektorát méretre, előfordulhat, hogy trigonometriával kell kiszámítania az eredmény nagyságát. Talán a Sine és a Cosinus szabályok segítenek. Ha kettőnél több vektort ad hozzá, akkor hasznos, ha az első vektort a másodikhoz adja hozzá, majd a második eredményét hozzáadja a harmadikhoz stb. További információkért tekintse meg a következő szakaszokat.
6. lépés. Rajzolja le a kapott vektort nagyságának és irányának felhasználásával
A vektort a hossza és az iránya határozza meg. A fentiek szerint, feltéve, hogy pontosan rajzolta a vektorát, az új vektor nagysága a hossza, és az iránya a függőleges vagy vízszintes irányhoz viszonyított szög. A hozzáadott vagy kivont egységvektorok segítségével határozza meg a kapott vektor nagyságának mértékegységeit.
Például, ha a hozzáadott vektorok sebességet képviselnek ms -ban-1, akkor a kapott vektor definiálható "sebesség x ms-1 y ellen o vízszintes irányba.
3. módszer 3 -ból: Vektorok hozzáadása és kivonása a vektoros méretkomponensek megadásával
1. lépés: A trigonometria segítségével határozza meg a vektor összetevőit
A vektor összetevőinek megtalálásához általában ismernie kell annak nagyságát és irányát a vízszintes vagy függőleges irányhoz képest, és meg kell értenie a trigonometriát. Ha kétdimenziós vektort feltételezünk, először is gondoljunk úgy a vektorunkra, mint egy olyan derékszögű háromszög hipotenuszára, amelynek két oldala párhuzamos az x és y irányokkal. Ezt a két oldalt úgy tekinthetjük, mint egy fej-farok vektor összetevőit, amelyek összeadva alkotják a vektorát.
- Mindkét oldal hossza megegyezik a vektor x és y komponenseivel, és trigonometriával kiszámítható. Ha x vektor nagyságú, akkor a vektor szöge melletti oldal (a vízszintes, függőleges és egyéb irányokhoz képest) xcos (θ), míg az ellenkező oldal az xsin (θ).
- Nagyon fontos figyelembe venni az alkatrészek irányát is. Ha az összetevő negatív koordinátára mutat, akkor negatív előjelet kap. Például egy 2 dimenziós síkban, ha egy komponens balra vagy lefelé mutat, akkor negatív.
- Tegyük fel például, hogy van egy 3 -as nagyságú és 135 -ös irányú vektorunko a vízszinteshez képest. Ezen információk alapján megállapíthatjuk, hogy az x komponens 3cos (135) = - 2, 12 és az y komponens 3sin (135) = 2, 12
2. lépés Két vagy több kapcsolódó vektor hozzáadása vagy kivonása
Miután megtalálta az összes vektor összetevőit, add össze őket, hogy megtaláld a kapott vektor összetevőit. Először add össze a vízszintes komponensek nagyságrendjét (amelyek párhuzamosak az x-irányával). Külön számolja össze a függőleges komponensek nagyságát (amelyek párhuzamosak az y-irányával). Ha egy komponens negatív (-), akkor annak nagyságát kivonjuk, nem adjuk hozzá. A kapott válasz a kapott vektor összetevője.
Például az előző lépés vektorát hozzáadjuk a vektorhoz. Ebben az esetben a kapott vektor lesz vagy
Lépés 3. Számítsa ki a kapott vektor nagyságát a Pythagoreus -tétel segítségével
Pitagorasz -tétel c2= a2+b2, a derékszögű háromszög oldalának hosszát keresi. Mivel a kapott vektorunk és alkotóelemei által alkotott háromszög derékszögű háromszög, ennek segítségével megkereshetjük a vektor hosszát és nagyságát. Ha a c a keresett vektor nagysága, akkor tegyük fel, hogy a az x komponens nagysága, és b az y komponens nagysága. Oldja meg algebra segítségével.
-
A Pitagorasz -tétel segítségével megtalálhatja annak a vektornak a nagyságát, amelynek összetevőit az előző lépésben kerestük. Oldja meg a következőképpen:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Lépés 4. Számítsa ki az eredő irányt az érintő függvény használatával
Végül keresse meg az irány eredő vektorát. Használja a képletet = tan-1(b/a), ahol az x vagy vízszintes irányban kialakított szög mérete, b az y komponens mérete, a pedig az x komponens mérete.
-
Vektorunk irányának megtalálásához használja a = tan parancsot-1(b/a).
- = cser-1(-6, 88/3, 66)
- = cser-1(-1, 88)
- = -61, 99o
5. lépés. Rajzolja le a kapott vektort nagysága és iránya szerint
Mint fentebb írtuk, a vektorokat nagyságuk és irányuk határozza meg. Ügyeljen arra, hogy a vektor méretének megfelelő egységeket használja.
Például, ha vektoros példánk egy erőt képvisel (Newtonban), akkor írhatjuk "erő 7,79 N, -61,99 o vízszintesre ".
Tippek
- A vektor különbözik a nagytól.
- Az azonos irányú vektorok nagyságuk összeadásával vagy kivonásával összeadhatók vagy kivonhatók. Ha te összegez két vektor, amelyek ellentétesek, nagyságukat kivonják, nem adják hozzá.
- Az x i + y j + z k alakban ábrázolt vektorok összeadhatók vagy kivonhatók a három egységvektor együtthatóinak hozzáadásával vagy kivonásával. A válasz i, j és k alakban is megtalálható.
- A háromdimenziós vektor méretét az a képlet segítségével találhatja meg2= b2+c2+d2 ahol a a vektor nagysága, és b, c és d az egyes irányok összetevői.
- Az oszlopvektorok összeadhatók és kivonhatók az egyes sorok értékeinek összeadásával vagy kivonásával.
