A négyzetgyök kézi kiszámítása (képekkel)

2024 Szerző: Jason Gerald | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-15 08:16

A számológépek feltalálása előtti időkben a diákoknak és a professzoroknak manuálisan kellett kiszámítaniuk a négyzetgyököket. Ennek a nehéz folyamatnak a leküzdésére többféle módszert fejlesztettek ki. Egyes módszerek durva becslést adnak, mások pedig pontos értéket. Ha szeretné megtudni, hogyan találhatja meg a szám négyzetgyökét egyszerű műveletek segítségével, tekintse meg az alábbi 1. lépést a kezdéshez.

Lépés

1. módszer a 2 -ből: A Prime Factorization használata

1. lépés. Oszd fel a számot tökéletes négyzetfaktorokra

Ez a módszer egy szám tényezőit használja a szám négyzetgyökének megkeresésére (a számtól függően a válasz lehet pontos szám vagy közeli közelítés). A szám tényezői más számok halmaza, amelyek megszorzásával ezt a számot állítják elő. Például mondhatjuk, hogy a 8 tényezője 2 és 4, mert 2 × 4 = 8. Eközben a tökéletes négyzetek egész számok, amelyek más egész számok szorzatai. Például 25, 36 és 49 tökéletes négyzetek, mert 5 -ös², 6²és 7². Amint azt sejtette, a tökéletes négyzetfaktorok olyan tényezők, amelyek szintén tökéletes négyzetek. Ha a prímtényező segítségével szeretné megtalálni a négyzetgyököt, először próbálja egyszerűsíteni a számát a tökéletes négyzetfaktorokra.

• Vegyünk egy példát. Kézzel szeretnénk megtalálni a 400 négyzetgyökét. Kezdésként a számot négyzet alakú tényezőre osztjuk. Mivel a 400 a 100 többszöröse, tudjuk, hogy 400 osztható 25 -tel - tökéletes négyzet. Az árnyékok gyors felosztásával azt találjuk, hogy 400 osztva 25 -tel 16 -tal egyenlő. Véletlenül 16 is tökéletes négyzet. Így a tökéletes négyzetfaktorok 400 25 és 16 mert 25 × 16 = 400.
• Írhatjuk így: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)

2. lépés. Keresse meg a négyzetgyökét a tökéletes négyzet tényezőinek

A négyzetgyök szorzási tulajdonsága azt állítja, hogy bármely a és b szám esetén Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Ennek a tulajdonságnak köszönhetően most megtalálhatjuk a tökéletes négyzetfaktorunk négyzetgyökét, és megszorozhatjuk őket, hogy megkapjuk a választ.

• Példánkban a 25 és 16 négyzetgyökeit találjuk. Lásd alább:

  • Gyökér (25 × 16)
  • Gyökér (25) × Gyökér (16)

  • 5 × 4 =

    20. lépés.

3. lépés: Ha a számot nem lehet tökéletesen figyelembe venni, egyszerűsítse válaszát a legegyszerűbb formában

A való életben gyakran azok a számok, amelyeknek a négyzetgyökét meg kell találni, nem kellemes egész számok, nyilvánvaló tökéletes négyzetfaktorokkal, mint például 400. Ezekben az esetekben lehetséges, hogy nem találjuk meg a helyes választ. Ha azonban megtalálja a tökéletes négyzetfaktorokat, megtalálhatja a választ négyzetgyök formájában, amely kisebb, egyszerűbb és könnyebben kiszámítható. Ehhez csökkentse a számot a tökéletes négyzet és a tökéletlen négyzet faktorok kombinációjára, majd egyszerűsítse.

• Vegyük példaként a 147 négyzetgyökét. A 147 nem két tökéletes négyzet szorzata, így nem kaphatjuk meg a pontos egész értéket, mint fent. A 147 azonban egy tökéletes négyzet és egy másik szám - 49 és 3 - szorzata. Ezen információk alapján a legegyszerűbb formában írhatjuk meg válaszunkat a következőképpen:

  • Gyökér (147)
  • = Gyökér (49 × 3)
  • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
  • = 7 × gyökér (3)

4. lépés. Ha szükséges, becsülje meg

Ha a négyzetgyök a legegyszerűbb formában van, akkor általában meglehetősen könnyű becslést kapni a számválaszról, ha kitalálja a fennmaradó négyzetgyök értékét és megszorozza azt. A találgatás egyik módja, ha olyan tökéletes négyzeteket keres, amelyek nagyobbak és kisebbek, mint a négyzetgyökben szereplő számok. Észre fogja venni, hogy a négyzetgyökben lévő szám tizedes értéke a két szám között van, így kitalálhatja a két szám közötti értéket.

• Térjünk vissza a példánkhoz. mert 2² = 4 és 1² = 1, tudjuk, hogy a (3) gyök 1 és 2 között van - valószínűleg közelebb 2 -hez, mint 1. Becslésünk szerint 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Ha megvizsgáljuk válaszunkat a számológépen, láthatjuk, hogy a válaszunk közel áll a valódi válaszhoz 12, 13.

  Ez vonatkozik a nagyobb számokra is. Például a gyökér (35) közelíthető 5 és 6 közé (esetleg közelebb a 6 -hoz). 5² = 25 és 6² = 36. 35 25 és 36 között van, tehát a négyzetgyöknek 5 és 6 között kell lennie. Mivel a 35 csak eggyel kevesebb 36 -nál, bátran kijelenthetjük, hogy a négyzetgyök valamivel kevesebb, mint 6. Számológéppel történő ellenőrzés adja meg a választ körülbelül 5, 92 - igazunk van.

Lépés 5. Alternatív megoldásként első lépésként csökkentse számát a legkevésbé gyakori tényezőkre

A tökéletes négyzetek tényezőinek megtalálása nem szükséges, ha könnyen meghatározhatja egy szám prímtényezőit (olyan tényezőket, amelyek prímszámok is). Írja be számát a legkevésbé gyakori tényezők alapján. Ezután keresse meg a tényezőinek megfelelő prímszámokat. Ha két azonos prímtényezőt talál, távolítsa el ezt a két számot a négyzetgyökből, és helyezze el az egyik számot a négyzetgyökön kívül.

• Például keresse meg a 45 négyzetgyökét ezzel a módszerrel. Tudjuk, hogy 45 × 5, és tudjuk, hogy 9 alatt = 3 × 3. Így a négyzetgyökünket az alábbi tényezők alapján írhatjuk fel: Sqrt (3 × 3 × 5). Csak távolítsa el mindkét 3 -at, és tegyen egyet 3 -at a négyzetgyökön kívülre, hogy egyszerűsítse négyzetgyökét a legegyszerűbb formában: (3) Gyökér (5).

  Innentől könnyen megbecsülhetjük.

• Utolsó példaproblémaként próbáljuk megkeresni a 88 négyzetgyökét:

  • Gyökér (88)
  • = Gyökér (2 × 44)
  • = Gyökér (2 × 4 × 11)
  • = Gyökér (2 × 2 × 2 × 11). Négy négyzetgyökünk van. Mivel a 2 prímszám, eltávolíthatunk egy 2 -es párost, és az egyiket a négyzetgyökön kívülre tehetjük.

  • = Négyzetgyökünk a legegyszerűbb formában (2) Sqrt (2 × 11) vagy (2) Gyökér (2) Gyökér (11).

    Innen megbecsülhetjük az Sqrt (2) és Sqrt (11) értékeket, és megtalálhatjuk a hozzávetőleges választ, ahogy akarjuk.

2. módszer 2 -ből: A négyzetgyök manuális megtalálása

A Long Division algoritmus használata

Lépés 1. Válassza szét a számjegyeket párokra

Ez a módszer a hosszú osztáshoz hasonló folyamatot használ a pontos négyzetgyök számjegy számjegy szerinti megkereséséhez. Bár ez nem kötelező, könnyebben elvégezheti ezt a folyamatot, ha vizuálisan szervezi a munkahelyét és a számokat könnyen kezelhető részekre. Először rajzoljon egy függőleges vonalat, amely két részre osztja a munkaterületet, majd húzzon egy rövidebb vízszintes vonalat a jobb felső részhez, hogy a jobb részt egy kisebb felső és egy nagyobb alsó részre oszthassa. Ezután ossza szét a számjegyeket párokba, kezdve a tizedesponttól. Például ezt a szabályt követve a 79,520,789,182, 47897 "7 95 20 78 91 82. 47 89 70" lesz. Írja be a számát a bal felső sarokban.

Például próbáljuk meg kiszámítani a 780, 14 négyzetgyökét. Rajzoljon két vonalat a munkahely felosztásához a fentiek szerint, és írja a "7 80. 14" -t a bal felső sarokba. Nem számít, hogy a bal szélső szám egyetlen szám, és nem számpár. Válaszát (780, 14 négyzetgyök) a jobb felső sarokba írja

2. lépés. Keresse meg a legnagyobb egész számot, amelynek négyzetértéke kisebb vagy egyenlő a bal szélső számmal (vagy számpárral)

Kezdje a szám bal szélétől, mind a számpároktól, mind az egyes számoktól. Keresse meg a legnagyobb tökéletes négyzetet, amely kisebb vagy egyenlő ezzel a számmal, majd keresse meg ennek a tökéletes négyzetnek a négyzetgyökét. Ez a szám n. Írja az n -t a jobb felső sarokba, és írja be az n négyzetét a jobb alsó negyedbe.

Példánkban a bal szélső szám a 7. Mert tudjuk, hogy 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, mondhatjuk, hogy n = 2, mert 2 a legnagyobb egész szám, amelynek négyzetértéke kisebb vagy egyenlő 7. Írjon 2 -t a jobb felső negyedbe. Ez a válaszunk első számjegye. Írjon 4 -et (négyzet értéke 2) a jobb alsó negyedbe. Ez a szám fontos a következő lépéshez.

Lépés 3. Vonja ki az imént kiszámított számot a bal szélső párból

A hosszú osztáshoz hasonlóan a következő lépés az, hogy az imént elemzett részből kivonjuk az éppen talált négyzet értékét. Írja be ezt a számot az első rész alá, és vonja ki, és a válaszát írja alá.

• Példánkban 4 alá írunk 7 alá, majd kivonunk belőle. Ez a kivonás választ ad

  3. lépés..

Lépés 4. Dobja el a következő párt

Lépjen lefelé a szám következő szakaszában, amelyhez a négyzetgyököt keresi, az éppen talált kivonási érték mellett. Ezután szorozza meg a jobb felső negyedben lévő számot kettővel, és írja be a választ a jobb alsó negyedbe. Az imént leírt szám mellett hagyjon helyet a szorzási feladatnak, amelyet a következő lépésben a következővel ír: '"_ × _ ="'.

Példánkban számunk következő párja "80". Írja a "80" -t a 3 mellé a bal oldali negyedbe. Ezután szorozza meg a jobb felső sarokban lévő számot kettővel. Ez a szám 2, tehát 2 × 2 = 4. Írja a "'4"' -et a jobb alsó negyedbe, majd utána _×_=.

5. lépés. Töltse ki az üres helyeket a jobb negyedben

Ugyanazt az egész számot kell kitöltenie az üres helyekre, amelyeket az imént írt a megfelelő kvadránsban. Ennek az egész számnak a legnagyobb egész számnak kell lennie, amely miatt a jobb negyedben lévő termék kisebb vagy egyenlő, mint a bal oldali szám.

Példánkban 8 -mal töltjük ki az üres helyeket, így 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Ez az érték nagyobb, mint 384. Így a 8 túl nagy, de a 7 működhet. Írja be a 7 -et az üres helyekbe, és oldja meg: 4 (7) × 7 = 329. A 7 helyes szám, mert 329 kisebb, mint 380. Írja a 7 -est a jobb felső negyedbe. Ez a 780, 14 négyzetgyökének második számjegye

6. lépés: Vonja le a számot, amelyet most kiszámított a bal oldali számból

Folytassa a kivonási lánccal a hosszú osztás módszerrel. Vegye a probléma szorzatát a jobb negyedbe, és vonja le a bal oldali számból, miközben írja le a válaszokat.

Példánkban 329 -et vonunk le a 380 -ból, ami megadja az eredményt 51.

7. lépés Ismételje meg a 4. lépést

Származza le a szám következő részét, amelyhez a négyzetgyököt keresi. Amikor eléri a szám tizedesjegyét, írja a tizedes pontot a válaszába a jobb felső negyedbe. Ezután szorozza meg a jobb felső sarokban lévő számot 2 -vel, és írja be az üres szorzási feladat ("_ × _") mellé a fentiek szerint.

Példánkban, mivel most a 780 -as, 14 -es tizedesponttal foglalkozunk, írja a tizedes pontot a jelenlegi válaszunk után a jobb felső sarokban. Ezután engedje le a következő párt (14) a bal negyedben. A jobb felső sarokban lévő szám kétszerese (27) 54, tehát írja be az "54 _ × _ =" értéket a jobb alsó negyedbe

8. lépés Ismételje meg az 5. és 6. lépést

Keresse meg a jobb oldalon lévő üres helyek kitöltésére szolgáló legnagyobb számjegyet, amely kisebb vagy egyenlő választ ad, mint a bal oldali szám. Ezután oldja meg a problémát.

Példánkban 549 × 9 = 4941, ami kisebb vagy egyenlő a bal oldali számmal (5114). 549 × 10 = 5490 túl nagy, ezért 9 a válasz. Írja a 9 -et a következő számjegyként a jobb felső negyedben, és vonja le a szorzatot a bal oldali számból: 5114 mínusz 4941 egyenlő 173 -mal

9. lépés: A számjegyek számolásának folytatásához engedje le a bal oldali nullákat, és ismételje meg a 4., 5. és 6. lépést

A nagyobb pontosság érdekében folytassa ezt a folyamatot, és keresse meg válaszában a több száz, ezer és több helyet. Folytassa ezt a ciklust, amíg meg nem találja a kívánt tizedesjegyet.

A folyamat megértése

1. lépés. Képzelje el azt a számot, amelynek négyzetgyökét négyzet S területének számítottuk

Mivel egy négyzet területe P² ahol P az egyik oldal hossza, akkor azzal, hogy megpróbálja megtalálni a szám négyzetgyökét, valójában megpróbálja kiszámítani a négyzet oldalának P hosszát.

2. lépés Határozza meg a válasz minden számjegyének betűváltozóit

Állítsa be az A változót a P (a négyzetgyök, amelyet megpróbálunk kiszámítani) első számjegyeként. B lesz a második számjegy, C a harmadik számjegy, és így tovább.

3. lépés. Határozza meg a kezdő szám egyes részeinek betűváltozóit

Állítsa be az S változót_a az első számjegypárhoz S -ben (a kezdeti érték), S_b a második számjegypárhoz stb.

4. lépés: Ismerje meg a módszer és a hosszú megosztás kapcsolatát

Ez a módszer a négyzetgyök megtalálására alapvetően hosszú osztási probléma, amely elosztja a kezdeti számot a négyzetgyökével, így megadja a válasz négyzetgyökét. Csakúgy, mint a hosszú osztási probléma esetén, minden lépésben csak a következő számjegy érdekli. Ily módon csak minden lépés következő két számjegye érdekli (ez a négyzetgyök minden egyes lépésének következő számjegye).

5. lépés. Keresse meg a legnagyobb számot, amelynek négyzetértéke kisebb vagy egyenlő S -el_a.

Válaszunkban A első számjegye a legnagyobb egész szám, amelynek négyzetértéke nem haladja meg az S -t_a (azaz A úgy, hogy A² Sa <(A+1) ²). Példánkban S_a = 7, és 2² 7 <3², tehát A = 2.

Ne feledje, hogy ha például a 88962 -t hosszú osztással szeretné osztani 7 -gyel, akkor az első lépések nagyjából megegyeznek: látni fogja a 88962 első számjegyét (ami 8), és a legnagyobb számjegyet keresi amely 7 -gyel megszorozva kisebb vagy egyenlő 8 -val. Alapvetően d -t keres, hogy 7 × d 8 <7 × (d+1). Ebben az esetben d egyenlő lesz 1 -gyel

6. Lépés. Képzelje el annak a négyzetnek az értékét, amelynek a területén dolgozni készül

A válasz, a kezdő szám négyzetgyöke, P, amely az S területű négyzet hosszát írja le (a kezdő szám). Az A, B, C osztályzatok a P érték számjegyeit jelentik. Egy másik módja annak, hogy ezt 10A + B = P (kétjegyű válasz esetén), 100A + 10B + C = P (három- számjegyű válasz) stb.

Példánkban, (10A+B) ² = P² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Ne feledje, hogy a 10A+B a mi válaszunkat jelenti, P, ahol B az egy pozícióban, A pedig tízes helyzetben. Például, ha A = 1 és B = 2, akkor 10A+B értéke 12. (10A+B) ² a négyzet teljes területe, míg 100A² a legnagyobb négyzet területe, B² a legkisebb négyzet területe benne, és 10A × B a két fennmaradó téglalap területe. Ha ezt a hosszú és összetett folyamatot hajtjuk végre, a négyzetek és a téglalapok területének összeadásával megtaláljuk a négyzet teljes területét.

7. lépés. Vonja ki A² -t S -ből_a.

Csökkents egy számjegypárt (S_b) of S. S értéke_a S_b közel a négyzet teljes területéhez, amelyet éppen a nagyobb belső négyzet kivonására használt. A maradékot N1 számnak tekinthetjük, amelyet a 4. lépésben kaptunk (példánkban N1 = 380). N1 2 és kétszer: 10A × B + B² (a két téglalap területe plusz a kisebb négyzet területe).

8. lépés Keresse meg az N1 = 2 × 10A × B + B² kifejezést, amely N1 = (2 × 10A + B) × B

Példánkban már ismeri az N1 (380) és az A (2) értékeket, ezért meg kell találnia a B -t. B valószínűleg nem egész szám, tehát valóban meg kell találnia a legnagyobb B egész számot, hogy (2 × 10A + B) × B N1. Tehát van: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)

9. lépés. Befejezés

Ennek az egyenletnek a megoldásához szorozzuk meg A -t 2 -vel, toljuk az eredményt a tízes pozícióba (a 10 -tel való szorzás megfelelője), tegyük B -t az egyek pozíciójába, és szorozzuk meg a számot B -vel. Más szóval, oldja meg (2 × 10A + B) × B. Pontosan ezt teszi, ha a 4. lépésben a jobb alsó negyedbe írja az "N_ × _ =" értéket (N = 2 × A). Az 5. lépésben megtalálja a legnagyobb B egész számot, amely megfelel a az alatta lévő számot úgy, hogy (2 × 10A + B) × B N1.

10. lépés. Vonja ki a területet (2 × 10A + B) × B a teljes területből

Ez a kivonás az S- (10A+B) ² területet eredményezi, amelyet még nem számoltak ki (és amelyet a következő számjegy kiszámítására használnak ugyanúgy).

11. lépés. A következő C számjegy kiszámításához ismételje meg a folyamatot

Engedje le a következő párt (S._c) az S-ből, hogy az N2-t a bal oldalon kapja meg, és keresse meg a legnagyobb C-t, hogy legyen (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (ez megegyezik az „AB” kétjegyű szám kétszeresével) "_ × _ =". Keresse meg a legnagyobb egyező számjegyet az üres helyeken, amely az N2 -nél kisebb vagy egyenlő választ ad, mint korábban.

Tippek

• Ha egy tizedespontot egy szám két számjegyének többszörösével (100 -szorosával) mozgatunk, az azt jelenti, hogy a tizedespontot egy négyzetgyökben (10 -szeres többszörösével) egy számjegy többszörösével mozgatjuk.
• Ebben a példában az 1,73 "maradéknak" tekinthető: 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
• Ez a módszer bármilyen bázishoz használható, nem csak a 10. (decimális) bázishoz.
• Használhatja a számítást, amely kényelmesebb az Ön számára. Vannak, akik a kezdő szám fölé írják az eredményt.
• Az ismételt törtek alternatív módja a következő képlet követése: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). Például a 780, 14 négyzetgyökének kiszámításához az az egész szám, amelynek négyzetes értéke a 780-hoz, 14-hez legközelebb van, 28, tehát z = 780, 14, x = 28 és y = -3, 86. Értékek bevitele és csak x + y/(2x) becslések kiszámításakor (legegyszerűbben kifejezve) 78207/20800 vagy körülbelül 27, 931 (1); következő ciklus, 4374188/156607 vagy körülbelül 27, 930986 (5). Mindegyik kifejezés körülbelül 3 tizedesjegyet ad hozzá az előző tizedesjegy pontosságához.

Figyelem

Ügyeljen arra, hogy a számjegyeket a tizedesponttól kezdve párokba válassza. 79 520 789 182, 47897 "79 52 07 89 18" -ra osztva 2, 4 78 97 "haszontalan számot ad vissza.