Az implicit függvények származtatása: 7 lépés (képekkel)

2024 Szerző: Jason Gerald | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-19 22:12

A számításban, ha van y egyenlete x alakban (pl. Y = x² -3x), könnyen használhatók az alapvető származtatási technikák (amelyeket a matematikusok implicit függvényderivatív technikáknak neveznek) a derivált megtalálására. Azonban azoknál az egyenleteknél, amelyeket nehéz megalkotni, és csak az y tag van az egyenlőségjel egyik oldalán (pl. X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), más megközelítésre van szükség. Az implicit függvényszármazékoknak nevezett technikával könnyű megtalálni a többváltozós egyenletek deriváltjait, amíg ismeri az explicit függvényszármazékok alapjait!

Lépés

1 /2 -es módszer: Egyszerű egyenletek gyors levezetése

1. lépés Származza le az x kifejezéseket a szokásos módon

Amikor többváltozós egyenletet próbálunk levezetni, mint az x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, nehéz lehet tudni, hol kezdje. Szerencsére az implicit függvény deriváltjának első lépése a legegyszerűbb. Először is származtassa le az egyenlet mindkét oldalán található x-tagokat és állandókat a szokásos (explicit) derivált szabályok szerint. Egyelőre figyelmen kívül hagyja az y-feltételeket.

• Próbáljunk meg példát hozni a fenti egyszerű egyenletre. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 két taggal rendelkezik: x: x² és -5x. Ha egyenletet akarunk levezetni, először ezt kell tennünk, például:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Húzza le a 2 x -es hatványra² együtthatóként távolítsa el az x értéket -5x, és módosítsa a 19 értéket 0 -ra)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

2. lépés. Deriválja az y kifejezéseket, és adja hozzá (dy/dx) minden tag mellé

A következő lépéshez csak származtassa le az y kifejezéseket, mint az x kifejezéseket. Ezúttal azonban adjon hozzá (dy/dx) minden kifejezés mellé, ahogy együtthatókat adna hozzá. Például, ha alacsonyabb az y², akkor a derivált 2y lesz (dy/dx). Figyelmen kívül hagyja azokat a kifejezéseket, amelyekben x és y van.

• Példánkban egyenletünk így néz ki: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Az y levezetésének következő lépését az alábbiak szerint hajtjuk végre:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Vedd le a 2 -es hatványra² együtthatóként távolítsa el y -t 8y -ban, és tegye a dy/dx -et minden tag mellé).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

Lépés 3. Használja a termékszabályt vagy a hányados szabályt az x és y betűkkel rendelkező kifejezésekhez

Az x és az y kifejezésekkel való munka egy kicsit bonyolult, de ha ismeri a termékre és a származékok hányadosára vonatkozó szabályokat, könnyű lesz. Ha az x és y kifejezéseket megszorozzuk, akkor használjuk a termékszabályt ((f × g) '= f' × g + g × f '), f helyett x taggal, g g y jelöléssel. Másrészt, ha az x és y kifejezések kizárják egymást, használja a hányados szabályt ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), f -t a számlálóval, a g -ot pedig a nevezővel helyettesítve.

• Példánkban 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, csak egy tagunk van, amely x és y - 2xy². Mivel x és y szorozva vannak egymással, a termékszabályt a következőképpen származtatjuk:

  2xy² = (2x) (y²)- állítsa be 2x = f és y² = g in (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2 éves² + 4xy (dy/dx)

• Ha ezt hozzáadjuk a fő egyenletünkhöz, akkor kapjuk 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

4. lépés: Egyedül (dy/dx)

Már majdnem kész! Most már csak a (dy/dx) egyenletet kell megoldania. Ez nehéznek tűnik, de általában nem az - ne feledje, hogy bármely két a és b kifejezést megszorozva (dy/dx), a szaporodás elosztási tulajdonsága miatt (a + b) (dy/dx) -ként írhatjuk. Ez a taktika megkönnyítheti az elkülönítést (dy/dx) - csak helyezze át az összes többi kifejezést a zárójel másik oldalán, majd ossza el a (dy/dx) melletti zárójelben lévő kifejezésekkel.

• Példánkban egyszerűsítjük 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 az alábbiak szerint:

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2é + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

2. módszer 2 -ből: Haladó technikák használata

1. lépés. Írja be az (x, y) értéket a kereséshez (dy/dx) bármely ponthoz

Biztonságos! Már hallgatólagosan levezette az egyenletet - ez nem könnyű feladat első próbálkozáskor! Ennek az egyenletnek a használata a gradiens (dy/dx) megkereséséhez bármely ponthoz (x, y) olyan egyszerű, mint a pont x és y értékeinek az egyenlet jobb oldalához való csatlakoztatása, majd a (dy/dx).

• Tegyük fel például, hogy a fenti példa -egyenletünk színátmenetét a (3, -4) pontban szeretnénk megtalálni. Ehhez az x -et 3 -mal, y -t -4 -gyel helyettesítjük, a következőképpen oldva meg:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12)))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12)))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, vagy 0, 6875.

Lépés 2. Használja a láncszabályt a függvényeken belüli függvényekhez

A láncszabály fontos tudás, amelyet a számítási feladatok (beleértve az implicit függvényszármazási feladatokat) kezelésénél kell elsajátítani. A láncszabály kimondja, hogy egy F (x) függvényhez, amely (f o g) (x), az F (x) származéka egyenlő f '(g (x)) g' (x). Nehéz implicit függvényderivatív problémák esetén ez azt jelenti, hogy lehetséges az egyenlet különböző részeit levezetni, majd az eredményeket egyesíteni.

• Egyszerű példaként tegyük fel, hogy meg kell találnunk a bűn származékát (3x² + x) a sin (3x) egyenlet nagyobb implicit függvényderivatív feladatának részeként² + x) + y³ = 0. Ha elképzeljük a bűnt (3x² + x) mint f (x) és 3x² + x mint g (x), a következőképpen találhatjuk meg a deriváltot:

  f '(g (x)) g' (x)

  (bűn (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

3. lépés. Az x, y és z változókkal rendelkező egyenletekhez keresse meg a (dz/dx) és (dz/dy) értékeket

Bár az alapszámításban szokatlan, néhány fejlett alkalmazás megkövetelheti több mint két változó implicit függvényeinek levezetését. Minden további változóhoz meg kell találnia annak további deriváltját az x -hez képest. Például, ha van x, y és z, akkor a (dz/dy) és a (dz/dx) kifejezésre is keresnie kell. Ezt megtehetjük úgy, hogy kétszer levezetjük az egyenletet x vonatkozásában - először is (dz/dx) -t írunk be minden alkalommal, amikor egy z -t tartalmazó kifejezést származtatunk, másodszor pedig minden egyes levezetéskor beillesztjük (dz/dy) z. Ezek után már csak a (dz/dx) és (dz/dy) feloldás kérdése.

• Tegyük fel például, hogy x -et próbálunk levezetni³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Először származzunk az x ellen, és írjuk be (dz/dx). Ne felejtse el alkalmazni a termékszabályt, ha szükséges!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5 év⁵z - 5x⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5x⁵) (dz/dx) - 5 év⁵z = 2x

  (2x³z - 5x⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 év⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 év⁵z)/(2x³z - 5x⁵)

• Most tegye ugyanezt a (dz/dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5x⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³z - 5x⁵) (dz/dy) = 3 y² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3y² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5x⁵)